Cournotscher Punkt

Bedeutung und Einordnung

Der cournotsche Punkt bezeichnet den Punkt auf der Preis-Absatz-Funktion eines Monopolunternehmens, an dem dessen Gewinn maximal ist. In einem Mengen-Preis-Diagramm besteht er aus zwei Koordinaten: der gewinnmaximalen Absatzmenge x_c und dem zugehörigen gewinnmaximalen Preis p_c. Er beschreibt somit die Preis-Mengen-Kombination, die für einen Monopolisten den höchsten Gewinn ergibt, und ist das Ergebnis monopolistischer Preisbildung.

Anders als ein Unternehmen im vollkommenen Wettbewerb muss ein Monopolist den Marktpreis nicht einfach akzeptieren. Er kann seinen Verkaufspreis festlegen, muss dabei aber berücksichtigen, welche Menge bei diesem Preis nachgefragt wird. Typischerweise liegt der cournotsche Punkt links vom Erlösmaximum: Im Gewinnmaximum wird also eine geringere Menge verkauft als im Maximum des Erlöses.

Bestimmung des Gewinnmaximums

Ausgangspunkt ist die Nachfragefunktion x = x(p). Ihre Umkehrfunktion ist die Preis-Absatz-Funktion p = p(x); sie gibt an, welchen Preis das Unternehmen bei einer bestimmten Absatzmenge verlangen kann. Alternativ kann sich der Monopolist durch schrittweise Preisanpassungen dem Gewinnoptimum nähern, wie es das Cobweb-Theorem beschreibt.

Der Gesamterlös E ist Preis mal Menge: E(x) = p(x)x.

Sind die Gesamtkosten durch K(x) gegeben, lautet die Gewinnfunktion: G(x) = E(x) − K(x).

Zur Bestimmung des Gewinnmaximums wird die erste Ableitung gebildet und gleich null gesetzt: G′(x) = 0.

Gibt es mehrere Nullstellen, etwa bei einem S-förmigen Kostenverlauf oder einem anderen nicht linearen Gewinnverlauf, müssen sie mithilfe der zweiten Ableitung geprüft werden. Eine Nullstelle ist ein Gewinnmaximum, wenn dort G″(x) < 0 gilt. Die so bestimmte Menge ist die gewinnmaximale Ausbringungs- beziehungsweise Absatzmenge x_c. Der dazugehörige Preis p_c wird anschließend durch Einsetzen von x_c in die Preis-Absatz-Funktion ermittelt.

Da G′(x) = E′(x) − K′(x) = 0 gilt, kann man gleichwertig die Bedingung E′(x) = K′(x) verwenden. E′(x) ist der Grenzerlös, also der zusätzliche Erlös bei einer mengenmäßigen Ausweitung, und K′(x) sind die Grenzkosten, also die zusätzlichen Kosten. Der x-Wert ihres Schnittpunkts ergibt x_c. Zusammen mit p_c = p(x_c) bildet er den cournotschen Punkt.

Beispiel mit Trekkingschuhen

Ein Monopolist produziert extraleichte Trekkingschuhe. Die Nachfrage x in Stück Gebinden hängt vom Preis p in Geldeinheiten (GE) ab: x(p) = 100 − 0,01p.

Die umgekehrte Preis-Absatz-Funktion lautet: p(x) = 10.000 − 100x.

Bei 10.000 GE wird kein Paar mehr verkauft; dieser Preis heißt Prohibitivpreis. Selbst bei einem Preis von 0 GE werden höchstens 100 Gebinde nachgefragt; dies ist die Sättigungsmenge.

Der Erlös ergibt sich aus Preis mal Menge: E(x) = p(x)x = 10.000x − 100x².

Die Gesamtkosten sind: K(x) = 50.000 + 3.000x.

Damit lautet die Gewinnfunktion: G(x) = E(x) − K(x) = 10.000x − 100x² − 50.000 − 3.000x = 7.000x − 100x² − 50.000.

Ihre erste Ableitung ist: G′(x) = 7.000 − 200x.

Aus G′(x) = 0 folgt die cournotsche Menge x_c = 35. Die zweite Ableitung beträgt G″ = −200. Da sie negativ ist, liegt tatsächlich ein Gewinnmaximum vor. Der zugehörige Gewinn beträgt: G(35) = 72.500 GE.

Der cournotsche Preis wird aus der Preis-Absatz-Funktion bestimmt: p(35) = 10.000 − 100 · 35 = 6.500 GE.

Der cournotsche Punkt besteht somit aus der Absatzmenge 35 und dem Preis 6.500 GE. Zu diesem Preis können 35 Gebinde verkauft und 72.500 GE Gewinn erzielt werden. Das Gleichsetzen von Grenzerlös und Grenzkosten, E′ = K′, führt zum selben Ergebnis. Muss zur Erhöhung einer begrenzten Kapazität investiert werden, sind bei der Berechnung des absoluten Cournot-Punktes auch die Fixkosten zu berücksichtigen.