Integralzeichen

Bedeutung und Verwendung

Das Integralzeichen ∫ bezeichnet in der Analysis die Integraloperation. Das Integral einer reellen Funktion f bezüglich der Variablen x über dem Intervall [a,b] wird als ∫ₐᵇ f(x) dx notiert. Die Schreibweise f(x) dx ist multiplikativ zu lesen: Sie deutet an, dass sich die Integraloperation aus vielen Streifen mit der Höhe f(x) und der infinitesimalen Breite dx zur Fläche unter dem Funktionsgraphen summiert.

Für Integrale gibt es verschiedene Abwandlungen, unter anderem für Mehrfachintegrale, Kurvenintegrale, Oberflächenintegrale und Volumenintegrale.

Entstehung des Zeichens

Das Integralzeichen entstand aus dem Buchstaben langes s („ſ“), der als Abkürzung für das lateinische Wort ſumma („Summe“) diente. Die symbolische Schreibweise geht auf Gottfried Wilhelm Leibniz zurück.

Leibniz erwähnte das Zeichen erstmals in einem später veröffentlichten Manuskript mit dem Titel Analysis tetragonistica vom 29. Oktober 1675. Dort schrieb er: „Utile erit scripsisse ∫ pro omnia“ („Es wird nützlich sein, ∫ für omnia zu schreiben“). Omnia steht dabei für omnia l und bezieht sich auf ein geometrisch orientiertes Flächenberechnungsverfahren Bonaventura Cavalieris.

Die zugehörige gedruckte Veröffentlichung Leibniz’ erschien 1686 unter dem Titel De geometria recondita et analysi indivisibilium et infinitorum („Über eine verborgene Geometrie und die Analyse des Unteilbaren und des Unendlichen“). Leibniz nannte die Integralrechnung damals noch calculus summatorius, also „Summenrechnung“, weshalb das lange s gewählt wurde. Johann I Bernoulli beschäftigte sich ebenfalls mit dem Thema. Im Zusammenhang mit Leibniz’ Streben nach einheitlichen wissenschaftlichen Zeichen wurde die Bezeichnung diskutiert: Das Zeichen blieb von Leibniz, während der Name calculus integralis beziehungsweise Integralrechnung von Bernoulli stammt.

Formen im Formelsatz

Je nach Tradition des Formelsatzes wird das Integralzeichen leicht unterschiedlich gestaltet:

• Im amerikanischen und sonstigen englischsprachigen Formelsatz ist es nach vorne geneigt.
• Im deutschen Formelsatz wird eine Variante mit vertikalem Steg verwendet.
• Im russischsprachigen beziehungsweise osteuropäischen Raum ist eine nach hinten geneigte Form verbreitet.

Auch die Anordnung der Integrationsgrenzen kann variieren. In amerikanischen Textformeln stehen die obere und die untere Grenze rechts neben dem Integralzeichen, zum Beispiel ∫₀ᵀ f(t) dt. Dadurch sollen störende Zeilenabstände verringert werden. In der deutschen Tradition ist in Textformeln die Anordnung mit den Grenzen über und unter dem Zeichen üblich: ∫₀ᵀ f(t) dt, in der vollständigen Form mit dem Befehl \limits geschrieben. Integrale in Textformeln sind außerdem immer kleiner als in abgesetzten Formeln.

Unicode-, HTML- und LaTeX-Kodierung

Das gewöhnliche Integralzeichen ∫ hat in Unicode die Position U+222B und die Bezeichnung „integral“ beziehungsweise „Integral“. In HTML kann es als ∫, ∫ oder mit dem benannten Zeichen ∫ geschrieben werden; in LaTeX lautet der Befehl \int.

Weitere im Artikel aufgeführte Zeichen sind:

• ∬: U+222C, „double integral“ beziehungsweise „Doppelintegral“, HTML ∬ und ∬, LaTeX \iint.
• ∭: U+222D, „triple integral“ beziehungsweise „Dreifachintegral“, HTML ∭ und ∭, LaTeX \iiint.
• ∮: U+222E, „contour integral“ beziehungsweise „Kurvenintegral“, HTML ∮ und ∮, LaTeX \oint.
• ∯: U+222F, „surface integral“ beziehungsweise „Oberflächenintegral“, HTML ∯ und ∯, LaTeX \oiint.
• ∰: U+2230, „volume integral“ beziehungsweise „Volumenintegral“, HTML ∰ und ∰, LaTeX \oiiint.
• ∱: U+2231, „clockwise integral“ beziehungsweise „rechtsläufiges Integral“, HTML ∱ und ∱, LaTeX \intclockwise.
• ∲: U+2232, „clockwise contour integral“ beziehungsweise „rechtsläufiges Kurvenintegral“, HTML ∲ und ∲, LaTeX \ointclockwise.
• ∳: U+2233, „anticlockwise contour integral“ beziehungsweise „linksläufiges Kurvenintegral“, HTML ∳ und ∳, LaTeX \ointctrclockwise.
• ⌠ und ⌡: U+2320 und U+2321, obere beziehungsweise untere Hälfte eines Integrals, HTML ⌠ und ⌠ beziehungsweise ⌡ und ⌡.
• ⎮: U+23AE, „integral extension“ beziehungsweise „Erweiterung eines Integrals“, HTML ⎮ und ⎮.
• ⨋: U+2A0B, „summation with integral“ beziehungsweise „Integralsumme“, HTML ⨋ und ⨋, LaTeX \sumint.
• ⨌: U+2A0C, „quadruple integral operator“ beziehungsweise „Vierfachintegral“, HTML ⨌ und ⨌, LaTeX \iiiint.
• ⨍, ⨎ und ⨏: U+2A0D, U+2A0E und U+2A0F für „finite part integral“, „integral with double stroke“ und „integral average with slash“, also Integral mit endlichem Teil, Integral mit Doppelstrich und Mittelwertintegral mit Querstrich; HTML ⨍ bis ⨏ und ⨍ bis ⨏, LaTeX \dashint, \ddashint und \strokedint.
• ⨑: U+2A11, „anticlockwise integration“ beziehungsweise „linksläufiges Integral“, HTML ⨑ und ⨑, LaTeX \intctrclockwise.
• ⨕ und ⨖: U+2A15 und U+2A16 für „integral around a point operator“ beziehungsweise „quaternion integral operator“, also Integral um einen Punkt und Quaternionenintegral; HTML ⨕ und ⨖ beziehungsweise ⨕ und ⨖, für ⨖ LaTeX \sqint.
• ⨗ und ⨘: U+2A17 und U+2A18 für ein Integral mit Linkspfeil mit Haken beziehungsweise ein Integral mit Malzeichen; HTML ⨗ und ⨘ beziehungsweise ⨗ und ⨘.
• ⨙ und ⨚: U+2A19 und U+2A1A für ein Integral mit Durchschnitt beziehungsweise mit Vereinigung; HTML ⨙ und ⨚ beziehungsweise ⨙ und ⨚, LaTeX \landdownint und \landupint.
• ⨛ und ⨜: U+2A1B und U+2A1C für ein Integral mit Überstrich beziehungsweise Unterstrich; HTML ⨛ und ⨜ beziehungsweise ⨛ und ⨜.