Quantenfeldtheorie

Gegenstand und Grundidee

Die Quantenfeldtheorie (QFT) verbindet Prinzipien klassischer Feldtheorien, etwa der klassischen Elektrodynamik, mit der Quantenmechanik. Sie beschreibt Teilchen und Felder einheitlich: Nicht nur Observablen wie Energie oder Impuls werden quantisiert, sondern auch die wechselwirkenden Teilchenfelder selbst. Diese Feldquantisierung wird auch Zweite Quantisierung genannt. Sie berücksichtigt insbesondere die Entstehung und Vernichtung von Elementarteilchen, also Paarerzeugung und Annihilation.

QFT-Methoden werden vor allem in der Elementarteilchenphysik und der statistischen Mechanik verwendet. Relativistische Quantenfeldtheorien berücksichtigen die spezielle Relativitätstheorie und sind für die Elementarteilchenphysik wesentlich; nicht-relativistische Quantenfeldtheorien spielen beispielsweise in der Festkörperphysik und der Vielteilchentheorie eine Rolle. Die axiomatische Quantenfeldtheorie versucht, die physikalisch motivierten Konzepte mathematisch streng zu formulieren.

Der Übergang von der Quantenmechanik zur QFT erfolgt von der Wellenfunktions- zur Teilchenzahldarstellung. Ein Vielteilchen-Hilbertraum wird durch Produkte von Ein-Teilchen-Funktionen, etwa Slater-Determinanten, aufgespannt. Die Zustände werden durch Besetzungszahlen charakterisiert. Eine Streuung verändert diese Besetzungszahlen und kann deshalb als Vernichtung einlaufender und Erzeugung auslaufender Teilchen gedeutet werden. Die entsprechenden Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren wirken in einem Fockraum.

Quantenfelder wie φ(x) oder φ†(x) vernichten beziehungsweise erzeugen Teilchen oder Antiteilchen am Ort x. Die Teilchenzahl ist veränderlich. In der relativistischen Physik können wegen der Äquivalenz von Energie und Masse Teilchen entstehen oder verschwinden; deshalb ist der QFT-Formalismus für die Elementarteilchenphysik besonders geeignet. Die Klein-Gordon- und Dirac-Gleichung erhalten dabei eine neue Interpretation.

Lagrangedichte und Feldquantisierung

Zur Entwicklung einer relativistischen Streutheorie wird zuerst eine Lagrangedichte aufgestellt, anschließend werden die Felder quantisiert und schließlich Streuamplituden berechnet. Im verwendeten Einheitensystem gilt c = ℏ = ε₀ = 1; außerdem wird ∂μ = ∂/∂xμ und die Einsteinsche Summenkonvention verwendet.

Die freien Lagrangedichten lauten unter anderem:

• Skalarfeld φ (Spin 0): 0 = (□ + m²)φ und 𝓛 = (∂μφ†)(∂^μφ) − m²φ†φ.
• Spinorfeld ψ (Spin 1/2): 0 = (iγμ∂μ − m)ψ und 𝓛 = (i/2)(ψ̄γμ(∂μψ) − (∂μψ̄)γμψ) − mψ̄ψ.
• Photon Aμ (Spin 1): 0 = ∂μFμν = □Aν − ∂ν(∂μAμ) und 𝓛 = −1/4 FμνFμν.

Dabei sind γμ die Dirac-Matrizen, □ der D’Alembert-Operator, ψ̄ = ψ†γ⁰ der adjungierte Spinor und Fμν = ∂μAν − ∂νAμ der Feldstärketensor. Wechselwirkungsterme müssen Skalare und damit unter Poincaré-Transformationen invariant sein, die Dimension (Länge)⁻⁴ besitzen und eichinvariant sein. Kopplungskonstanten liefern gegebenenfalls die notwendige Dimension. Elektromagnetische Wechselwirkungen werden meist durch die kovariante Ableitung ∂μ → ∂μ + ieAμ eingeführt.

Für die Feldquantisierung gibt es zwei zentrale Formalismen. Der kanonische Formalismus ordnet jedem Feld ein kanonisch konjugiertes Feld zu. Beide werden zu Operatoren und erfüllen Kommutator- oder Antikommutatorrelationen. Bosonen werden mit Kommutatoren beschrieben und folgen der Bose-Einstein-Statistik; Fermionen benötigen Antikommutatoren und folgen der Fermi-Dirac-Statistik. Dadurch folgt für Spin-1/2-Teilchen das Pauli-Prinzip: Die zweimalige Anwendung desselben Erzeugungsoperators ergibt den Nullzustand.

Beim komplexen Skalarfeld gilt beispielsweise [φ(x⃗,t), π(y⃗,t)] = iδ(3)(x⃗−y⃗). In der Impulsdarstellung erzeugt a†(k) ein Teilchen und b†(k) ein Antiteilchen; a(k) und b(k) vernichten sie. Beim Spinorfeld führen Antikommutatoren zu einem positiven Hamilton-Operator.

Eichfelder sind schwieriger zu quantisieren, weil aus der Lagrangedichte π₀ = 0 folgt. Daher muss eine Eichbedingung festgelegt werden. Verwendet werden unter anderem der Gupta-Bleuler-Formalismus sowie physikalische Eichungen. Letztere entfernen nichtphysikalische Freiheitsgrade, verlieren aber eine manifest kovariante Formulierung.

Pfadintegral und Streuprozesse

Im Pfadintegralformalismus werden Felder als Funktionen und nicht als Operatoren behandelt. Über alle möglichen Feldkonfigurationen wird mit einem durch die Wirkung bestimmten Phasenfaktor integriert. Für ein Skalarfeld gilt schematisch

Z ∝ ∫ 𝒟φ exp{i∫d⁴x 𝓛(φ)}.

Erzeugung und Vernichtung werden durch Quellenfelder beschrieben. Für ein freies komplexes Skalarfeld lautet das Funktional beispielsweise

Z[J] ∝ ∫𝒟φ exp{i∫d⁴x[(∂μφ†)(∂^μφ) − m²φ†φ + J†φ + φ†J]}.

Nach der Integration über φ erhält man Z[J] ∝ exp{−i∫J†(x)ΔF(x−y)J(y)d⁴x d⁴y}. Der Feynman-Propagator ΔF ist durch (□ + m²)ΔF(x) = −δ⁽⁴⁾(x) definiert und entspricht dem Inversen des Klein-Gordon-Operators. Ableitungen nach den Quellen erzeugen die zeitgeordneten Korrelationsfunktionen.

Für Fermionfelder werden Graßmann-Zahlen verwendet, weil diese antikommutieren. Der entsprechende Dirac-Propagator ist S = (iγμ∂μ + m)ΔF. Beim Eichfeld ist der relevante Operator nicht invertierbar. Deshalb wird ein eichfixierender Term 𝓛gf = 1/(2α) f²(Aμ) eingeführt. In vielen Eichungen treten zusätzlich Faddejew-Popow-Geister auf: antikommutierende skalare Felder, die nur als virtuelle Teilchen vorkommen. In abelschen Eichtheorien trägt ihr Term nicht zur Dynamik bei.

Durch analytische Fortsetzung in die imaginäre Zeit erhält man eine Verbindung zur statistischen Mechanik. Die daraus entstehenden Gittereichtheorien und Monte-Carlo-Verfahren ermöglichen numerische Rechnungen, unter anderem die Berechnung von Hadronmassen in der Quantenchromodynamik.

Das zentrale Objekt der Streutheorie ist die S-Matrix. Ihre Elemente beschreiben Übergänge von einem Anfangszustand |αin⟩ zu einem Endzustand |βout⟩ und heißen Streuamplituden. Auf Feldebene gilt φout(x) = S†φin(x)S. Die S-Matrix lässt sich durch zeitgeordnete n-Punkt-Funktionen beziehungsweise Korrelatoren ausdrücken. Die LSZ-Zerlegung stellt diesen Zusammenhang her; für Spinorfelder tritt an die Stelle des Klein-Gordon-Operators der Dirac-Operator.

Feynman-Diagramme und Renormierung

Feynman-Diagramme sind eine Kurzschreibweise für die Terme, die bei der Berechnung von n-Punkt-Funktionen entstehen. Die Regeln dafür heißen Feynman-Regeln. Freie Felder werden durch Linien dargestellt, Wechselwirkungsterme durch Vertices. Linien mit nur einem verbundenen Ende stehen für reale Teilchen; Linien zwischen zwei Vertices für virtuelle Teilchen. Für eine vollständige Streuamplitude müssen alle Diagramme mit den passenden Anfangs- und Endteilchen berücksichtigt werden.

Jeder Vertex bringt eine Kopplungskonstante mit sich. Ist diese kleiner als eins, liefern Diagramme mit vielen Vertices im Allgemeinen kleinere Beiträge. Deshalb kann die Störungstheorie die Streuamplitude näherungsweise durch Diagramme niedriger Ordnung bestimmen. Bei einer Theorie mit Wechselwirkungen gibt es grundsätzlich unendlich viele Diagramme.

Schleifendiagramme mit geschlossenen inneren Linien sind meist divergent, weil über alle Energien und Impulse integriert wird. Die Renormierung macht solche Rechnungen häufig wieder sinnvoll. In der traditionellen Sicht werden Gegenterme in die Lagrangefunktion aufgenommen, die divergierende Beiträge in Massen und Kopplungskonstanten aufheben. Quantenelektrodynamik und Quantenchromodynamik sind renormierbar; bei der Gravitation wären unendlich viele Gegenterme nötig, weshalb sie in diesem Sinn nicht renormierbar ist.

Die Renormierungsgruppe beschreibt Physik als Folge effektiver Feldtheorien für verschiedene Energiebereiche. In der QCD wächst die Kopplung bei kleinen Energien gegen Unendlich (Confinement), bei hohen Energien geht sie gegen Null (asymptotische Freiheit). In der QED werden nackte Ladungen durch Vakuumpolarisation wirksam abgeschirmt. Es wird vermutet, dass sich Kopplungskonstanten bei sehr hohen Energien annähern könnten.

Technisch wird zunächst eine Regularisierung eingeführt, die die divergierenden Terme endlich hält. Danach werden die Unendlichkeiten in geeignete Parameterterme ausgelagert und nach festgelegten Regeln entfernt. Der Regularisierungsparameter wird anschließend gegen null oder unendlich geführt. Die renormierten Kopplungskonstanten müssen bei niedrigen Energien den Messwerten entsprechen.

Wichtige konkrete Quantenfeldtheorien

Das Standardmodell entsteht aus der Verbindung des elektroschwachen Modells mit der Quantenchromodynamik. Es enthält alle bekannten Elementarteilchen und erklärt die meisten bekannten Vorgänge. Es ist jedoch nicht vollständig, weil die Gravitation fehlt und Beobachtungen wie Neutrinooszillationen und Dunkle Materie eine Erweiterung nahelegen. Außerdem enthält es viele freie Parameter und erklärt beispielsweise das unterschiedliche Massenspektrum der Elementarteilchenfamilien nicht.

Die φ⁴-Theorie mit

𝓛 = (∂μφ†)(∂^μφ) − m²φ†φ − λ/4(φ†φ)²

ist die einfachste Quantenfeldtheorie mit Wechselwirkung. Sie beschreibt ein selbstwechselwirkendes reelles oder komplexes Skalarfeld und ist theoretisch wichtig, weil sich an ihr einige exakte mathematische Aussagen zeigen lassen. In der statistischen Physik dient sie als Kontinuumsmodell für die Landau-Theorie der Phasenübergänge zweiter Ordnung und kritischen Phänomene. Auch das Higgsfeld besitzt eine φ⁴-Selbstwechselwirkung, zusätzlich zu Wechselwirkungen mit anderen Standardmodellfeldern.

Die Lagrangedichte der Quantenelektrodynamik (QED) lautet

𝓛 = iψ̄γμ(∂μ − ieAμ)ψ − mψ̄ψ − 1/4FμνFμν.

Sie beschreibt ein Spinorfeld mit Ladung −e, das Elektron, und das elektromagnetische Eichfeld, das Photon. Die elektromagnetische Wechselwirkung wird durch virtuelle Photonen vermittelt. Die QED erklärt mit hoher Genauigkeit elektromagnetische Strahlung und die Wechselwirkung geladener Teilchen; daraus lassen sich unter anderem Eigenschaften chemischer Elemente und von Festkörpern ableiten.

Die schwache Wechselwirkung ist im elektroschwachen Standardmodell mit der QED vereinigt. Ihre Vermittler sind Photonen sowie W- und Z-Bosonen; ihr bekanntester Effekt ist der Betazerfall. Die QCD beschreibt die starke Wechselwirkung zwischen Quarks und Gluonen. Gluonen wechselwirken selbst miteinander. Dadurch können Quarks nicht einzeln beobachtet werden, sondern treten in Quark-Antiquark-Zuständen oder Zuständen aus drei Quarks beziehungsweise Antiquarks auf (Confinement). Gleichzeitig nimmt die Kopplung bei hohen Energien ab (asymptotische Freiheit).

Symmetrie, Axiomatik und offene Verbindung zur Gravitation

Bei spontaner Symmetriebrechung besitzt das Potential mehrere gleichwertige Minima. Für eine reelle Masse gibt es ein Minimum; bei imaginärer Masse entsteht ein w-förmiges Potential. Ein komplexes Feld mit zwei reellen Komponenten führt zu einem Minimakreis, dem sogenannten Mexican-Hat-Potential. Jeder Grundzustand hat dieselbe niedrigste Energie, aber die Auswahl eines bestimmten Minimums reduziert die sichtbare Symmetrie.

Dieses Konzept beschreibt unter anderem die spontane Magnetisierung im Ising-Modell und den Higgs-Mechanismus. Dieser erklärt die Massen der Eichbosonen der schwachen Wechselwirkung; dadurch wird die ursprüngliche Eichsymmetrie reduziert. Im Artikel wird für den entsprechenden Fall m² als negativ beschrieben. Das Higgsfeld wird dabei als tachyonisches Feld bezeichnet, während das Higgs-Boson selbst ein gewöhnliches Teilchen mit reeller Masse ist.

Die axiomatische Quantenfeldtheorie sucht eine konsistente Theorie aus möglichst wenigen grundlegenden Axiomen. Wichtige Zugänge sind die Wightman-Axiome von 1956, die algebraische Quantenfeldtheorie mit den Haag-Kastler-Axiomen von Haag und Araki aus dem Jahr 1962 sowie die Osterwalder-Schrader-Axiome. Aus den Axiomen lassen sich unter anderem das Spin-Statistik-Theorem und das CPT-Theorem herleiten. Die 1955 von Lehmann, Symanzik und Zimmermann entwickelte LSZ-Reduktionsformel beschreibt die S-Matrix. Weitere Anwendungen betreffen thermodynamische Größen, Phasenübergänge und Vielteilchensysteme wie das Bardeen-Cooper-Schrieffer-Modell, den Heisenbergschen Ferromagneten und das ideale Bose-Gas.

Eine Vereinigung der Quantenfeldtheorien mit der allgemeinen Relativitätstheorie zur Quantengravitation ist bisher nicht erfolgreich gelungen. Der Grundgedanke ist, dass bei der Gravitation die Raumzeit selbst dynamisch wird. Diskutierte Ansätze sind Stringtheorie, M-Theorie und Loop-Quantengravitation; außerdem liefern Supersymmetrie, Twistor-Theorie, die finite und die topologische Quantenfeldtheorie konzeptionelle Ideen.