Inhalt (Polynom)

Begriff und Definition

Der Inhalt eines Polynoms über einem Ring R ist der größte gemeinsame Teiler seiner Koeffizienten in R. Der Begriff hängt wesentlich davon ab, welcher Ring als Koeffizientenbereich verwendet wird. Er ist besonders wichtig im Lemma von Gauß, das den Inhalt eines Produktes mit den Inhalten seiner Faktoren verknüpft. Dadurch erhält man Aussagen über Faktorisierung, Irreduzibilität und rationale Nullstellen von Polynomen.

Für einen faktoriellen Ring R sei f = ∑_{k=0}^n a_k x^k ≠ 0. Dann ist inhalt_R(f) = ggT_R(a_0, …, a_n). Der Inhalt ist nur bis auf eine Einheit eindeutig bestimmt, also bis auf Multiplikation mit einem invertierbaren Element von R. Für das Nullpolynom wird inhalt_R(0) := 0 festgelegt.

Ist R ein faktorieller Ring und K sein Quotientenkörper, so kann jedes von null verschiedene Element a ∈ K in der Form a = e p_1^{k_1} p_2^{k_2} … p_l^{k_l} mit k_1, …, k_l ∈ ℤ, e ∈ R^* und paarweise nicht assoziierten Primelementen p_1, …, p_l ∈ R geschrieben werden. Die Exponenten sind eindeutig bestimmt. Für ein Primelement p definiert man die Bewertung ν_p(a) := ord_p(a) := k_p.

Für ein von null verschiedenes Polynom f = ∑{k=0}^n a_k x^k ∈ K[X] ist dann ord_p(f) := ν_p(f) := min{i=0,…,n} ν_p(a_i). Mit einer maximalen Menge P paarweise nicht assoziierter Primelemente aus R wird der Inhalt definiert durch cont_R(f) := inhalt_R(f) := ∏_{p∈P} p^{ord_p(f)}. Zusätzlich gilt ν_p(0) := ord_p(0) := ∞ und inhalt_R(0) := 0. Auch diese Definition ist nur bis auf Assoziiertheit eindeutig; eine andere Wahl von P verändert den Inhalt höchstens durch eine Einheit aus R.

Beide Definitionen stimmen für Polynome mit Koeffizienten aus R überein. Die zweite Definition erweitert die erste auf Polynome mit Koeffizienten aus dem Quotientenkörper K. Wenn der Koeffizientenring eindeutig ist, schreibt man einfach inhalt(f).

Beispiele für die Ringabhängigkeit

Für f = 6x^3 + 9x + 12 als Polynom über ℤ gilt inhalt_ℤ(f) = ggT_ℤ(6, 0, 9, 12) = 3, oder auch −3. Betrachtet man dasselbe Polynom dagegen über ℚ, so ist inhalt_ℚ(f) = ggT_ℚ(6, 0, 9, 12) = 1, beziehungsweise jede andere von null verschiedene rationale Zahl.

Für f = x^3 + 3/2 x + 2 als Polynom über K = ℚ mit R = ℤ ist inhalt_ℤ(f) = 1/2, oder auch −1/2. Betrachtet man f stattdessen als Polynom mit K = R = ℚ, so gilt inhalt_ℚ(f) = 1, beziehungsweise jede andere rationale Zahl außer null.

Diese Beispiele zeigen, dass derselbe formale Ausdruck je nach Koeffizientenring einen unterschiedlichen Inhalt besitzt.

Primitiver Anteil und Zugehörigkeit zum Polynomring

Ein Polynom, dessen Inhalt eine Einheit ist, heißt primitiv. Der primitive Anteil von f wird mit pp(f) := f / inhalt_R(f) bezeichnet.

Ein Polynom mit Koeffizienten im Quotientenkörper K eines faktoriellen Rings R liegt genau dann im Polynomring R[X], wenn sein Inhalt in R liegt. Der Inhalt misst damit, welche gemeinsamen Faktoren aus dem Koeffizientenbereich aus einem Polynom herausgezogen werden können.

Lemma von Gauß und seine Folgen

Ist R ein faktorieller Ring, K sein Quotientenkörper und f, g ∈ K[X], dann gilt inhalt_R(f · g) = inhalt_R(f) · inhalt_R(g). Insbesondere ist das Produkt zweier primitiver Polynome wieder primitiv.

Zu den häufig als Lemma von Gauß bezeichneten Korollaren gehören:

• Der Polynomring R[X] über einem faktoriellen Ring R ist faktoriell.
• Ist ein nicht konstantes Polynom in einer Variablen über R irreduzibel, so ist es auch über dem Quotientenkörper K irreduzibel.
• Hat ein normiertes Polynom eine Nullstelle im Quotientenkörper, so liegt diese Nullstelle bereits in R.
• Das Produkt zweier normierter Polynome f und g mit rationalen Koeffizienten hat genau dann ganzzahlige Koeffizienten, wenn f und g bereits ganzzahlige Koeffizienten besitzen.

Weitere Folgen sind:

• Für ein Polynom aus R kann jede Nullstelle in K als Bruch dargestellt werden, dessen Nenner ein Teiler des höchsten Koeffizienten und dessen Zähler ein Teiler des Absolutgliedes ist. Dadurch werden die möglichen rationalen Nullstellen auf endlich viele Kandidaten eingeschränkt.
• Die Primelemente in R[X] sind genau die Primelemente von R zusammen mit den primitiven Primelementen des Polynomrings K[X].
• Für jeden faktoriellen Ring R ist der Polynomring in endlich vielen Variablen R[X_1, …, X_n] faktoriell.

Die Beweisidee besteht zunächst darin, den Fall primitiver Polynome f, g ∈ R[X] zu betrachten. Für ein Primelement p gilt inhalt_R(f) = 1 ⇔ für jedes Primelement p: f + pR[X] ≠ 0 in R[X]/pR[X] ≅ (R/pR)[X]. Da pR ein Primideal ist, sind R/pR und damit auch (R/pR)[X] Integritätsringe. Daraus folgt der entscheidende Spezialfall für primitive Polynome.

Für das erste Korollar zeigt man, dass alle Primelemente von R und alle primitiven Primelemente von K[X] auch in R[X] prim sind. Weil K[X] als euklidischer Ring faktoriell ist, kann jedes Element von R[X] als Produkt solcher Primelemente geschrieben werden. Die übrigen Korollare lassen sich direkt nachweisen.

Historisch zeigte Gauß selbst in den Disquisitiones Arithmeticae (art. 42) die Variante, dass das Produkt zweier normierter Polynome f und g mit rationalen Koeffizienten nur dann ganzzahlige Koeffizienten hat, wenn die Koeffizienten von f und g bereits ganzzahlig sind.

Anwendungen und typische Rechnungen

Der Inhalt kann verwendet werden, um Teilbarkeit, rationale Nullstellen und Faktorisierungen zu untersuchen.

Das Polynom f = 6x^7 + 23x^3 + 9x^2 − 12x + 24 ist in ℤ[X] nicht durch g = 6x^4 + 9x^3 + 3x^2 + 3x + 3 teilbar, weil der Inhalt von f gleich 1 und der Inhalt von g gleich 3 ist.

Für f = 2x^7 + x^3 + x^2 + 3x + 1 sind nach dem Satz über rationale Nullstellen beziehungsweise nach Gauß nur ±1/2 und ±1 als rationale Nullstellen möglich. Durch Prüfung dieser endlich vielen Kandidaten stellt man fest, dass f keine rationale Nullstelle besitzt.

Das Polynom f = 2x^3 + 2x + 3 ist als Polynom über ℚ irreduzibel: Es hat Grad 3 und keine rationale Nullstelle. Wegen des Lemmas von Gauß müssen dafür nur die endlich vielen möglichen rationalen Nullstellen geprüft werden.

Bei f = 8x^5 − 8x^4 + 2x^3 − 8x^2 − 6x zieht man zunächst den gemeinsamen Faktor 2x heraus: f = 2x(4x^4 − 4x^3 + x^2 − 4x − 3). Für das verbleibende Polynom sind nach Gauß die möglichen rationalen Nullstellen ±1, ±3, ±1/2, ±1/4, ±3/2, ±3/4. Durch Einsetzen erhält man als rationale Nullstellen nur −1/2 und 3/2. Polynomdivision liefert f = 2x(x^2 + 1)(x + 1/2)(x − 3/2) und über ℂ weiter f = 2x(x − i)(x + i)(x + 1/2)(x − 3/2).