Satz über rationale Nullstellen

Kernaussage und Bedeutung

Der Satz über rationale Nullstellen, auch rationaler Nullstellentest, rationaler Wurzelsatz oder Lemma von Gauß genannt, beschreibt die möglichen rationalen Nullstellen eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten. Eine Nullstelle ist eine Zahl x₀, für die f(x₀) = 0 gilt. Der Satz ist ein notwendiges Kriterium: Er liefert eine endliche Liste, in der alle rationalen Nullstellen liegen müssen. Nicht jede Zahl dieser Liste ist jedoch tatsächlich eine Nullstelle; die Kandidaten müssen durch Einsetzen überprüft werden.

Sei f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀ mit aᵢ ∈ ℤ ein Polynom vom Grad n. Dabei heißt aₙ der Leitkoeffizient und a₀ das Absolutglied oder konstante Glied. Ist x₀ = p/q eine rationale Nullstelle und ist der Bruch vollständig gekürzt, also sind p und q teilerfremde ganze Zahlen, dann gilt:

• p teilt das Absolutglied a₀. • q teilt den Leitkoeffizienten aₙ.

Alle möglichen rationalen Nullstellen erhält man deshalb aus den Brüchen p/q, bei denen p ein Teiler von a₀ und q ein Teiler von aₙ ist. Positive und negative Teiler müssen berücksichtigt werden.

Anwendung des Nullstellentests

Besitzt der Leitkoeffizient aₙ den Betrag 1, dann muss q den Wert ±1 haben. Daher ist jede rationale Nullstelle in diesem Fall eine ganze Zahl, die das Absolutglied a₀ teilt.

Der Test kann auch auf Polynome mit rationalen Koeffizienten angewendet werden. Dazu multipliziert man das gesamte Polynom mit einem gemeinsamen Vielfachen der Nenner seiner Koeffizienten. So entsteht ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, das dieselben Nullstellen besitzt. Anschließend geht man folgendermaßen vor:

• Alle Teiler p des Absolutglieds bestimmen. • Alle Teiler q des Leitkoeffizienten bestimmen. • Die möglichen gekürzten Brüche ±p/q bilden. • Jeden Kandidaten in das Polynom einsetzen.

Der Satz schränkt die Suche nur ein. Ein Kandidat ist erst dann eine Nullstelle, wenn sein Funktionswert tatsächlich 0 ist.

Verallgemeinerung und Begründung

Die Aussage gilt allgemeiner für einen faktoriellen Ring R. Das ist ein Ring, in dem Elemente im Wesentlichen eindeutig in irreduzible Faktoren zerlegt werden können. Sei K := Quot(R) sein Quotientenkörper und f(X) = aₙXⁿ + … + a₀ ∈ R[X]. Hat f eine Nullstelle α = a/b mit maximal gekürzten, also teilerfremden a, b ∈ R, dann gilt ebenfalls b ∣ aₙ und a ∣ a₀.

Zum Beweis setzt man α = a/b in das Polynom ein: 0 = f(a/b) = aₙaⁿ/bⁿ + aₙ₋₁aⁿ⁻¹/bⁿ⁻¹ + … + a₀. Nach der Multiplikation mit bⁿ folgt 0 = aₙaⁿ + aₙ₋₁aⁿ⁻¹b + … + a₁abⁿ⁻¹ + a₀bⁿ. Daraus erhält man −aₙaⁿ = b · (aₙ₋₁aⁿ⁻¹ + … + a₁abⁿ⁻² + a₀bⁿ⁻¹). Somit teilt b das Produkt aₙaⁿ. Weil a und b teilerfremd sind, sind auch aⁿ und b teilerfremd; daher muss b den Leitkoeffizienten aₙ teilen. Man kann also aₙ = br mit einem r ∈ R schreiben. Nach Einsetzen und Umformen ergibt sich a₀bⁿ⁻¹ = a · (−raⁿ⁻¹ − aₙ₋₁aⁿ⁻² − … − a₁bⁿ⁻²). Da a und b teilerfremd sind, folgt a ∣ a₀.

Alternativ kann man zunächst den größten gemeinsamen Teiler der Koeffizienten herausdividieren und erhält ein primitives Polynom f̃ mit denselben Nullstellen. Aus f̃(a/b) = 0 folgt, dass bX − a das Polynom über K teilt. Das Lemma von Gauß überträgt diese Teilbarkeit auf R[X]. Schreibt man f̃(X) = h(X)(bX − a), zeigen der erste und der letzte Koeffizient des Produkts unmittelbar die behaupteten Teilbarkeiten.

Typische Beispiele

Beim rationalen Polynom f(x) = 1/5 x³ − 7/30 x² + 1/30 beseitigt die Multiplikation mit 30 alle Nenner. Man erhält f*(x) = 6x³ − 7x² + 1. Das Absolutglied ist 1, der Leitkoeffizient ist 6. Daher müssen alle rationalen Nullstellen in der Menge {±1, ±1/2, ±1/3, ±1/6} liegen. Durch Einsetzen findet man die Nullstellen −1/3, 1 und 1/2. Ein Polynom dritten Grades kann höchstens drei paarweise verschiedene Nullstellen haben. Deshalb gibt es hier keine weiteren irrationalen Nullstellen.

Für f(x) = x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1 sind wegen des Leitkoeffizienten 1 und des Absolutglieds 1 nur 1 und −1 als rationale Nullstellen möglich. Es gilt jedoch f(−1) = 1 ≠ 0 und f(1) = 7 ≠ 0. Das Polynom besitzt somit keine rationale Nullstelle.

Beim Polynom f(x) = x³ − 2x + 4 kommen als rationale Nullstellen nur die Teiler ±1, ±2 und ±4 des konstanten Gliedes infrage. Die Überprüfung ergibt die Nullstelle −2. Die Koeffizienten können außerdem als gaußsche Zahlen, also Zahlen der Form a + b·i, aufgefasst werden. Weil 2 = (1 + i)(1 − i) gilt, führt die Betrachtung der Teiler ±(1 + i) und ±(1 − i) des konstanten Gliedes zu den komplexen Nullstellen 1 + i und 1 − i.