Subjunktion

Begriff und Abgrenzung

Die Subjunktion, auch Konditional oder materiale Implikation genannt, ist in der Logik eine Aussage, die zwei Teilaussagen mit dem Junktor „Wenn-dann“ verbindet. Sie hat die Form „Wenn A, dann B“, formal A → B. Ein Beispiel ist: „Wenn ein elektrischer Strom fließt, dann erwärmt sich die Leitung.“ A heißt dabei Vordersatz, B Folgesatz.

Die Subjunktion ist eine objektsprachliche Verknüpfung: Sie verbindet zwei Aussagen zu einer neuen Aussage derselben Sprachebene. Davon ist die metasprachliche Implikation zu unterscheiden. Diese macht eine Aussage über zwei Aussagen, etwa: „Die Aussage ‚Es regnet‘ impliziert die Aussage ‚Die Straße ist nass.‘“ Eine solche metasprachliche Implikation kann genau dann zutreffen, wenn die objektsprachliche Subjunktion „Wenn A, dann B“ zutrifft.

Wahrheitsbedingungen und Schreibweisen

In der klassischen Logik ist die Subjunktion wahrheitsfunktional. Das bedeutet, dass ihr Wahrheitswert allein von den Wahrheitswerten der beiden Teilaussagen abhängt. A → B ist nur dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist. In allen anderen Fällen ist die Gesamtaussage wahr:

• A wahr, B wahr: A → B wahr • A wahr, B falsch: A → B falsch • A falsch, B wahr: A → B wahr • A falsch, B falsch: A → B wahr

Als Zeichen werden vor allem der einfache Pfeil →, die Kurve ⊃ („Hufeisen“) und gelegentlich der Pfeil mit zwei Querstrichen ⇒ verwendet. In der polnischen Notation steht der Großbuchstabe C für die materiale Implikation; „Wenn a, dann b“ wird dort als „Cab“ geschrieben.

Logische Umformungen und Besonderheit

Die klassische Subjunktion A → B ist logisch gleichbedeutend mit ¬A ∨ B, also „nicht A oder B“:

A → B ⇔ ¬A ∨ B

Ihre Negation ist gleichbedeutend mit A ∧ ¬B:

¬(A → B) ⇔ A ∧ ¬B

Eine häufig missverstandene Besonderheit wird als Paradoxie der materialen Implikation bezeichnet. Die Gesamtaussage „Wenn 2 · 2 = 5 ist, dann ist der Mensch unsterblich“ gilt in der klassischen Logik als wahr, weil ihr Vordersatz „2 · 2 = 5“ falsch ist. Daraus folgt aber nicht, dass der Folgesatz „Der Mensch ist unsterblich“ wahr ist. Die Wahrheit der gesamten Aussage A → B darf nicht mit der Wahrheit der einzelnen Aussage B verwechselt werden.

Implikation im Dialogspiel

In der dialogischen Logik wird ein logischer Beweis als regelgeleitetes Spiel zwischen zwei Partnern aufgefasst: dem Proponenten P, der eine Aussage vertritt, und dem Opponenten O, der sie angreift. Eine Aussage ist gültig, wenn der Opponent alle erlaubten Angriffsmöglichkeiten ausgeschöpft hat und jeder Angriff verteidigt werden konnte. Andernfalls ist sie ungültig.

Komplexe Aussagen werden durch Partikularregeln behandelt. Diese Regeln bestimmen, wie ihre Teilaussagen angegriffen oder verteidigt werden können. Um unerwünschte semantische Nebenbedeutungen zu vermeiden, heißt der Junktor in der dialogischen Logik üblicherweise „Implikation“ statt „Subjunktion“.

Für A → B lautet die Partikularregel: P behauptet A → B. O greift an, indem er A fordert beziehungsweise annimmt („A?“). Darauf muss P den Folgesatz B behaupten, den O anschließend direkt angreifen kann.

Beispiel einer dialogischen Strategie

P behauptet beispielsweise: „Wenn die Benzinpreise weiter steigen, nimmt der Autoverkehr ab.“ Dabei steht A für „Die Benzinpreise steigen weiter“ und B für „Der Autoverkehr nimmt ab“, sodass die Behauptung A → B lautet.

O greift die Implikation an, indem er dazu auffordert, A anzunehmen. A lediglich anzuzweifeln hätte wegen des Prinzips ex falso quodlibet keine Folgen für die Wahrheit der Implikation. P muss nun B behaupten, worauf O B direkt angreifen kann. Die weitere Strategie hängt vom gewählten Rahmenregelsystem ab, das gegebenenfalls intuitionistisch ist, sowie davon, ob man die Rolle von P oder O einnimmt. Ziel kann sein, O zur Verteidigung von A zu verpflichten oder P dazu zu bringen, B verteidigen zu müssen.