Beugungsintegral

Grundidee und Versuchsaufbau

Das Beugungsintegral berechnet in der Optik die Beugung von Licht an einer beliebig geformten Blende. Ausgangspunkt sind eine einfallende Elementarwelle und die Blendenfunktion f_S, die angibt, wie lichtdurchlässig die Blende an jedem Ort ist. Meist wird die Lichtintensität an einem Punkt P des Beobachtungsschirms bestimmt; außerdem kann die Phase der gebeugten Wellenfront berechnet werden.

Der Versuchsaufbau besteht aus einer Lichtquelle Q, einer Blende S und einem Beobachtungsschirm. Die Form und die Eigenschaften der Blende bestimmen die Intensitätsverteilung auf dem Schirm. Bei einem Doppelspalt entsteht beispielsweise das bekannte Interferenzmuster. Weitere im Artikel genannte Anwendungen sind Beugungsscheibchen und Klotoide.

Die beiden wichtigsten Näherungen sind die Fraunhofer-Beugung im Fernfeld und die Fresnel-Beugung im Nahfeld.

Kirchhoffsches Beugungsintegral

Das kirchhoffsche, auch fresnel-kirchhoffsche Beugungsintegral lautet:

ψ_P = (a_Q k₀)/(2π i) ∫_Blende dS f_S · e^{i k₀(d+d₁)}/(d·d₁) · [(cos θ + cos θ₁)/2].

Dabei ist a_Q die Amplitude der Quelle, k₀ = 2π/λ der Betrag des Wellenvektors, λ die Wellenlänge, dS ein infinitesimales Flächenelement der Blende, f_S die Blendenfunktion und ψ_P die Amplitude im Punkt P. Der Faktor (cos θ + cos θ₁)/2 heißt Neigungsfaktor oder Inklinationsfaktor. Die Größen d₁ und d bezeichnen die Abstände von der Quelle zur Blende beziehungsweise von der Blende zum Beobachtungspunkt. Die Winkel θ₁ und θ liegen zwischen den entsprechenden Verbindungsgeraden und einem Lot auf die Blendenebene.

In vielen Anwendungen stehen d₁ und d annähernd senkrecht auf der Blende. Dann kann der Neigungsfaktor näherungsweise gleich 1 gesetzt werden. Er korrigiert eine Inkonsistenz des huygensschen Prinzips: Nach diesem Prinzip erzeugt jeder Punkt einer Wellenfront Elementarwellen, die sich scheinbar auch entgegen der eigentlichen Ausbreitungsrichtung zur Lichtquelle ausbreiten würden. In Richtung zur Quelle gilt θ = π und θ₁ = 0; der Neigungsfaktor wird dann 0, ebenso die Intensität in dieser Richtung.

Für eine ebene Welle, die senkrecht auf die Blende fällt, ist d₁ konstant. Der Faktor e^{i k₀ d₁}/d₁ kann dann als konstanter Faktor gleich 1 gesetzt werden. Es gilt:

ψ_PEB = (a_Q k₀)/(2π i) ∫_Blende dS f_S · e^{i k₀d}/d · [(cos θ + cos θ₁)/2].

Die Intensität im Punkt P ist das Betragsquadrat der Amplitude:

I(P) = |ψ_P|² = (a_Q² k₀²)/(4π²) · |∫_Blende dS f_S · e^{i k₀(d+d₁)}/(d·d₁) · [(cos θ + cos θ₁)/2]|².

Auch die Phase kann bestimmt werden:

φ = arctan(Im(ψ_P)/Re(ψ_P)).

Dabei bedeuten Re Realteil und Im Imaginärteil. Eine solche Phasenberechnung wird beispielsweise in der digitalen Holografie verwendet.

Gemeinsame geometrische Näherung

Für die geometrischen Lichtwege gelten:

d = √(L² + |s⃗ − p⃗|²) und d₁ = √(L₁² + |s⃗|²).

Hier beschreiben s⃗ beziehungsweise p⃗ die Ortskoordinaten in der Blenden- beziehungsweise Schirmebene; s² = x² + y² und p² = x′² + y′². Unter den Bedingungen L₁ ≫ |s⃗| und L ≫ |p⃗| können die Wurzeln durch eine Taylor-Entwicklung angenähert werden. Damit sind θ ≈ θ₁ ≈ 0, sodass der Neigungsfaktor näherungsweise 1 ist.

Außerdem kann im Nenner d·d₁ ≈ L₁L gesetzt werden. Der Exponent darf dagegen nicht auf diese Weise vereinfacht werden, weil er die für die Interferenz entscheidende Phaseninformation enthält. Bis zur zweiten Ordnung ergeben sich:

d ≈ L(1 + (s² + p² − 2s⃗·p⃗)/(2L²) + …),

d₁ ≈ L₁(1 + s²/(2L₁²) + …).

In Koordinaten lautet dies:

d ≈ L(1 + (x² + y² + x′² + y′² − 2(xx′ + yy′))/(2L²) + …),

d₁ ≈ L₁(1 + (x² + y²)/(2L₁²) + …).

Das daraus entstehende Integral ist die Grundlage für die beiden unterschiedlichen Näherungen: In der Fraunhofer-Näherung werden nur lineare Terme berücksichtigt, in der Fresnel-Näherung zusätzlich quadratische Terme.

Fraunhofer-Näherung und Fourier-Optik

Die Fraunhofer-Näherung ist eine Fernfeld-Näherung. Dabei wird nicht nur eine kleine Blendenöffnung, sondern auch eine große Entfernung L zwischen Blende und Beobachtungsschirm angenommen. Es werden nur Terme berücksichtigt, die linear in x und y sind:

d ≈ L(1 + (x′² + y′² − 2(xx′ + yy′))/(2L²)), d₁ ≈ L₁.

Das Beugungsintegral wird damit zu:

ψ_P ≈ (a_Q k₀)/(2π i) · e^{i k₀(L₁+L+p²/(2L))}/(L₁L) · ∬_Blende dx dy f_S(x,y)e^{−i k₀(xx′+yy′)/L}.

Definiert man den neuen Wellenvektor K⃗ = (k₀/L)p⃗, so lautet der Integralteil:

∬_Blende dx dy f_S(x,y)e^{−i K⃗·s⃗}.

Dieser Ausdruck ist gerade die Fourier-Transformierte der Blendenfunktion f_S. Deshalb wird die Fraunhofer-Beugung auch als Fourier-Optik bezeichnet.

Fresnel-Näherung und heuristische Herleitung

Die Fresnel-Näherung ist eine Nahfeld-Näherung. Im Exponenten werden auch quadratische Terme berücksichtigt:

d ≈ L(1 + (x² + y² + x′² + y′² − 2(xx′ + yy′))/(2L²) + …),

d₁ ≈ L₁(1 + (x² + y²)/(2L₁²) + …).

Mit 1/L′ = 1/L + 1/L₁ und K⃗ = (k₀/L)p⃗ ergibt sich:

ψ_P ≈ (a_Q k₀)/(2π i) · e^{i k₀(L+L₁+p²/(2L))}/(LL₁) · ∬_Blende dx dy f_S(x,y)e^{i k₀(x²+y²)/(2L′)}e^{−i K⃗·s⃗}.

Der zusätzliche quadratische Term bewirkt, dass dieses Integral im Allgemeinen nicht mehr analytisch, sondern nur numerisch lösbar ist. Die Fresnel-Näherung gilt unter der Bedingung:

d ≫ (((x−x′)² + (y−y′)²)^{2/3})/((8λ)^{1/3}).

Für eine Blendengröße von 1 cm, also x−x′ = 1 cm und y−y′ = 1 cm, sowie λ = 500 nm ergibt sich ein Mindestabstand von 22 cm. „Nahfeld“ bedeutet daher nicht, dass die Fresnel-Näherung unmittelbar hinter der Blende verwendet werden darf. Bei noch kürzeren Abständen ist das vollständige Beugungsintegral ohne Näherung erforderlich.

Die heuristische Herleitung verwendet das huygenssche Prinzip. Eine Quelle Q mit Amplitude a_Q bei r⃗_Q erzeugt eine Kugelwelle:

ψ_Q(r⃗,t) = a_Q · e^{i(k|r⃗|−ωt)}/|r⃗|.

Ihre Amplitude nimmt mit 1/|r⃗| ab; k|r⃗| beschreibt die ortsabhängige Phasenverschiebung und ωt die zeitabhängige. Am Blendenpunkt S trifft die Welle im Abstand d₁ ein:

ψ₁(t) = a_Q · e^{i(kd₁−ωt)}/d₁.

Jeder Punkt der Blende wird als Ausgangspunkt einer Sekundär- oder Elementarwelle ψ_S aufgefasst. Ihre Amplitude ist proportional zur einfallenden Amplitude, zur Blendenfunktion und zum Flächenelement:

a_S(t) ∼ f_S dS ψ₁(t).

Im einfachsten Fall ist f_S = 1 bei geöffneter und f_S = 0 bei geschlossener Blende. Der Beitrag eines einzelnen Flächenelements zum Punkt P ist:

dψ_P ∼ f_S dS a_Q · e^{ik(d₁+d)}/(d₁d).

Durch Überlagerung der Beiträge aller Blendenpunkte folgt:

ψ_P ∼ a_Q ∫_Blende dS f_S e^{ik(d+d₁)}/(d·d₁).

Mit dem Proportionalitätsfaktor k/(2πi) erhält man das Beugungsintegral ohne Neigungsfaktor.