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Komplementäre Observablen
Unter der Komplementarität zweier messbarer Größen (Observablen) versteht man in der Quantenmechanik die Eigenschaft, dass die zu den zugehörigen …
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Definition und Bedeutung
In der Quantenmechanik heißen zwei messbare Größen (Observablen) komplementär, wenn die zugehörigen Operatoren einen Kommutator mit dem Wert ± iℏ besitzen:
[A,B] = AB − BA = ± iℏ.
Dabei ist ℏ die reduzierte Planck-Konstante; A und B sind die Operatoren der beiden Observablen. Der Kommutator beschreibt, dass die Reihenfolge der beiden Operatoren nicht gleichgültig ist.
Aus der verallgemeinerten Heisenbergschen Unschärferelation folgt für komplementäre Observablen, dass ihre Messungen nicht gleichzeitig beliebig genau möglich sind. Für die Varianzen σ_A und σ_B gilt stets:
σ_A σ_B ≥ ℏ/2.
Ist eine der beiden Größen vollständig bekannt, kann über das Ergebnis einer quantenmechanischen Messung der anderen überhaupt nichts ausgesagt werden: Alle möglichen Messergebnisse sind gleich wahrscheinlich.
Ort und Impuls
Ein bekanntes Paar komplementärer Observablen sind der Ort und der Impuls eines Objekts. Da die klassische Trajektorie, also die klassische Bahnbewegung, durch Ort und Impuls beschrieben wird, muss das Konzept einer solchen eindeutig bestimmten Bahn in der Quantenmechanik aufgegeben werden.
Abgrenzung zu inkommensurablen Größen
Die verschiedenen Komponenten des Drehimpulses sind keine komplementären Observablen. Zwar können auch sie nicht gleichzeitig beliebig genau gemessen werden, doch ist ihr Kommutator keine Zahl, sondern selbst ein Operator.
Größen, die nicht gleichzeitig beliebig genau gemessen werden können, werden allgemein als inkommensurabel bezeichnet. Komplementarität ist damit ein besonderer Fall, der durch den Kommutatorwert ± iℏ gekennzeichnet ist.
