Energie-Zeit-Unschärferelation

Begriff und Einordnung

Energie-Zeit-Unschärferelationen sind Formeln, die die Ungenauigkeit beziehungsweise Streuung einer Energiebestimmung mit einem für das betrachtete System oder die Messung wichtigen Zeitintervall verbinden. Solche Zeitintervalle können etwa Messwechselwirkungsdauern, Durchgangszeiten, Zerfallszeiten oder statistische Trennzeiten sein. Je nach Zusammenhang stehen ihnen Energiestreuungen, Energieintervalle oder Schätzwerte gegenüber.

Die Bezeichnung erinnert an die Heisenbergsche Unschärferelation für komplementäre Observablen, also messbare Größen der Quantenmechanik. Energie und Zeit bilden in der traditionellen, von John von Neumann formalisierten Quantenmechanik jedoch kein solches Paar: Die Zeit ist dort nur der reelle Parameter t und keine Observable mit zugehörigem Operator. Deshalb ist keine einzige allgemeine Energie-Zeit-Relation direkt als Spezialfall der üblichen Unschärferelation ableitbar. Energie-Zeit-Unschärferelationen sind vielmehr Ungleichungen, teils auch Gleichungen oder Abschätzungen, deren Bedeutung von der jeweiligen Definition des Zeitintervalls abhängt.

Nur bei bestimmten Fragestellungen kann Zeit mit einem verallgemeinerten Observablenbegriff als Zeitoperator behandelt werden. Dann gilt eine strenge Analogie zur Unschärferelation zwischen konjugierten Observablen.

Historische Diskussion und Grenzen

Werner Heisenberg formulierte 1927 neben der Ort-Impuls-Unschärferelation eine erste Energie-Zeit-Variante. Aus einer Betrachtung des Stern-Gerlach-Versuchs folgerte er für Genauigkeit einer Energiemessung und erforderliche Messzeit näherungsweise \Delta E\Delta t\approx h. Er verstand dies als prinzipielle Grenze, nicht bloß als Folge unvollkommener Messgeräte.

Niels Bohr leitete 1928 eine ähnliche Beziehung aus der Durchgangsdauer eines Wellenpakets durch ein Raumgebiet ab. Die minimale Durchgangszeit hängt dabei von der Breite des Energiebereichs \Delta E der Fourier-Komponenten des Wellenpakets ab. Landau und Peierls stellten 1931 dagegen heraus, dass eine bei der Messung abgeleitete Relation den Unterschied zwischen Messergebnis und Energiezustand des Objekts nach beziehungsweise infolge der Messung betrifft: Bei kürzerer Messzeit wird dieser Unterschied größer. Sie lehnten daher die Aussage ab, Energie könne zu einem bestimmten Zeitpunkt grundsätzlich nicht genau bestimmt werden.

Aharonov und David Bohm kritisierten 1961, dass frühere Herleitungen meist von passenden Einzelbeispielen ausgehen und anschließend unbegründet verallgemeinert werden. Ihr Modell einer Energiemessung sollte sowohl reproduzierbare Messungen ermöglichen als auch die von Heisenberg angenommene Zeitgrenze für eine Messgenauigkeit unterschreiten.

Wolfgang Pauli zeigte 1933 eine wichtige Einschränkung: Ist der selbstadjungierte Hamilton-Operator \hat H halb-beschränkt, gibt es also einen Zustand tiefster Energie, dann existiert kein selbstadjungierter Operator \hat A mit [\hat H,\hat A]=\mathrm{i}\hbar. Ein solcher Kommutator wäre für komplementäre Observablen erforderlich. In der traditionellen Theorie kann Energie-Zeit-Unschärfe daher nicht allgemein streng wie die Unschärfe nicht-kommutierender Observablen aufgefasst werden. Interpretation und Geltungsbereich bleiben kontrovers diskutiert.

Energiebreite und Lebensdauer

Eine besonders gebräuchliche Beziehung verknüpft die mittlere Lebensdauer \tau eines instabilen Zustands mit der Halbwertsbreite \Gamma seiner Energie:

\Gamma\;\tau=\hbar.

\hbar ist die reduzierte Planck-Konstante. Die Gleichung gilt exakt und wird in Atom-, Kern- und Elementarteilchenphysik verwendet, um aus bekannter Lebensdauer die spektrale Linienbreite oder umgekehrt zu bestimmen. Bei exponentiellen Zerfallsprozessen kann sie als Energie-Zeit-Unschärferelation verstanden werden; die Lebensdauer ist dabei die Standardabweichung der Verteilung der Zerfallszeitpunkte. Eine allgemeine Ableitung ist für uneigentliche Eigenzustände des Energieoperators bei exponentiellem Zerfall möglich. Blatt und Weisskopf zeigten 1959 ihre Gültigkeit im Rahmen der Resonanztheorie für die Streuung an einem Potentialtopf.

Mandelstam-Tamm-Relation

Die Mandelstam-Tamm-Variante knüpft direkt an die allgemeine Unschärferelation und das Zeitentwicklungsgesetz an. Für Energie \hat H und eine beliebige Observable \hat A in einem reinen Zustand \Psi gilt zunächst:

\Delta\hat H\;\Delta\hat A\geq\frac{1}{2}|\langle[\hat H,\hat A]\rangle|.

\Delta\hat H und \Delta\hat A sind Standardabweichungen. Ist \hat A nicht explizit zeitabhängig, verbindet das Ehrenfest-Theorem den Kommutator mit der Änderung ihres Erwartungswerts:

\left|\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\langle\hat A\rangle\right|=\frac{1}{\hbar}|\langle[\hat H,\hat A]\rangle|.

Daraus folgt mit \Delta E=\Delta\hat H:

\Delta E\;\Delta\hat A\geq\frac{\hbar}{2}\left|\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\langle\hat A\rangle\right|.

Definiert wird das charakteristische Zeitintervall durch \Delta t_A=\frac{\Delta\hat A}{|\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\langle\hat A\rangle|}, wobei \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\langle\hat A\rangle\neq0 gelten muss. Damit ergibt sich:

\Delta E\;\Delta t_A\geq\frac{\hbar}{2}.

\Delta t_A ist die linear extrapolierte σ-Trennzeit: Bei linearer Näherung am Zeitpunkt t_0 ist sie die Zeit, nach der sich der Erwartungswert von \hat A um eine Standardabweichung \sigma_A verschoben hätte. \hat A kann deshalb als Uhrvariable dienen. Für einen mit Energiestreuung \Delta E präparierten reinen Zustand setzt die Relation eine untere Grenze für diese extrapolierte Trennzeit stationärer, nicht mit \hat H kommutierender Observablen: \Delta E\;\Delta t\geq\frac{\hbar}{2}.

Diese Zeit ist nicht zwingend die tatsächliche Trennzeit \Delta\tau_A. Die Relation \Delta E\;\Delta\tau_A\geq\frac{\hbar}{2} gilt nur, wenn die tatsächliche mindestens so groß wie die extrapolierte Trennzeit ist, und nicht für alle Observablen. Die Abschätzung kann schwach sein und unter Umständen verbessert werden. Sie setzt außerdem einen reinen Zustand und \Delta\hat H\neq0 voraus; Energieeigenzustände sowie Eigenzustände von \hat A werden nicht erfasst. Für ein Wellenpaket kontinuierlicher Energieeigenzustände erhielten Mandelstam und Tamm mit der Halbwertszeit \tau_{1/2}: \tau_{1/2}\Delta_\psi\hat H\geq\frac{\pi}{4}h.

Zeitoperatoren und Ankunftszeiten

Der traditionelle Observablenbegriff verwendet projektionswertige Wahrscheinlichkeitsmaße. Projektoren haben nur die Eigenwerte 0 und 1 und beschreiben Ja/Nein-Entscheidungsmessungen. Da sich nicht jede digitale Messung durch einen Projektor darstellen lässt, kann dieser Begriff durch Positive Operator Valued-Maße (POVM) erweitert werden. Auf dieser Grundlage lassen sich Zeitoperatoren konstruieren.

Ein Zeitoperator ist nötig, wenn Zeit nicht als vorgegebener Parameter eines Experiments, sondern als beobachtete Größe vorkommt. Beispiele sind eine Ankunftszeitmessung an einem Szintillationsschirm und die Lebensdauermessung durch Registrieren einer abnehmenden Zählrate. Gefragt wird dann nach der Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in das Intervall [t_1,t_2] fällt. In der Quantenmechanik liefern die Zustände \Psi_t für alle Zeitpunkte dieses Intervalls mögliche Beiträge; der Zeitoperator sammelt diese Beiträge zur Gesamtwahrscheinlichkeit.

Für die Schirm-Observable ergibt sich die Energie-Zeit-Unschärfe streng analog zu allgemeinen Unschärferelationen:

\Delta E_\psi\;\Delta\hat T_\psi\geq\hbar/2.

Eine schärfere Präparation der Energie des Teilchenzustands \Psi führt demnach zu stärker streuenden Ankunftszeiten am Schirm. Umgekehrt bedeutet eine genauere Festlegung der Ankunftszeiten eine größere Energiestreuung desselben Zustands.