Hauptfaserbündel

Grundidee und Zweck

Ein Hauptfaserbündel, auch Prinzipalfaserbündel oder Prinzipalbündel genannt, ist ein Konzept der Differentialgeometrie. Es formalisiert „getwistete“ Produkte und bildet unter anderem einen mathematischen Rahmen für Eichfeldtheorien und Yang-Mills-Felder. Besonders wichtige Fälle sind U(1)-Hauptfaserbündel und SU(2)-Hauptfaserbündel.

Prinzipalbündel verallgemeinern das kartesische Produkt X × G aus einem Raum X und einer topologischen Gruppe G. Wie ein solches Produkt besitzt ein Prinzipalbündel P eine Projektion π: P → X sowie eine Gruppenoperation von G auf P. Im Produktfall lauten diese Abbildungen (x,g)h = (x,gh) und (x,g) → x.

Der entscheidende Unterschied zum Produkt besteht darin, dass ein allgemeines Prinzipalbündel keinen ausgezeichneten Schnitt besitzt. Im Produkt wäre durch das neutrale Element e von G der Punkt (x,e) ausgezeichnet. Außerdem gibt es im Allgemeinen keine stetige Projektion P → G, die dem zweiten Faktor des Produktes entspricht. Daher können Prinzipalbündel komplizierte Topologien haben und sich möglicherweise nicht als Produktraum darstellen.

Eine Funktion F: X → G kann im trivialen Prinzipalbündel π: X × G → X als Schnitt s(x) = (x,F(x)) aufgefasst werden. Schnitte von Prinzipalbündeln verallgemeinern somit G-wertige Funktionen.

Definition und Strukturgruppe

Ein Prinzipalbündel ist ein Faserbündel P über einem Raum X mit Projektion π: P → X, das zusätzlich mit einer stetigen Rechtsoperation einer topologischen Gruppe G versehen ist. Die Operation wird als (p,g) ↦ pg geschrieben.

Sie muss jede Faser auf sich selbst abbilden, also π(pg) = π(p) für alle p ∈ P und g ∈ G. Außerdem wirkt G auf jeder Faser frei und transitiv:

• Frei bedeutet, dass kein Punkt durch ein anderes Gruppenelement als das neutrale Element invariant bleibt.
• Transitiv bedeutet, dass jeder Punkt einer Faser von jedem anderen Punkt derselben Faser durch genau ein geeignetes Gruppenelement erreicht wird.

Die Gruppe G heißt Strukturgruppe des Prinzipalbündels. Wegen der freien und transitiven Wirkung ist jede Faser in ihrer Struktur durch G bestimmt. Sind P und X glatte Mannigfaltigkeiten, G eine Lie-Gruppe und die Gruppenoperation glatt, so heißt das Prinzipalbündel ein glattes Prinzipalbündel.

Lokale und globale Trivialisierung

Wie jedes Faserbündel ist ein Prinzipalbündel lokal trivialisierbar. Zu jedem x ∈ X gibt es eine offene Umgebung U ⊂ X, sodass π⁻¹(U) homöomorph zu U × G ist. Jede Faser ist daher homöomorph zu G, wenn G als topologischer Raum betrachtet wird.

Bei einem Prinzipalbündel muss die lokale Trivialisierung zusätzlich mit der Gruppenoperation verträglich sein. Es gibt einen äquivarianten Homöomorphismus φ: π⁻¹(U) → U × G mit π(ug) = π(u) und φ(ug) = φ(u)g für u ∈ π⁻¹(U) und g ∈ G.

Eine solche lokale Trivialisierung erzeugt einen lokalen Schnitt f: U → P durch f(x) = φ⁻¹((x,e)), wobei e das neutrale Element von G ist. Umgekehrt erzeugt jeder lokale Schnitt f: U → P eine lokale Trivialisierung: Für p ∈ π⁻¹(U) wird φ(p) = (π(p),gₚ) gesetzt, wobei f(π(p))gₚ = p gilt.

Anders als bei allgemeinen Faserbündeln gilt bei Prinzipalbündeln: Nicht nur eine globale Trivialisierung liefert einen globalen Schnitt, sondern auch die Existenz eines globalen Schnittes bewirkt die Trivialisierbarkeit. Im physikalischen Zusammenhang kann die Wahl einer Eichung als lokale oder globale Wahl einer Trivialisierung beziehungsweise eines Schnittes verstanden werden.

Wichtige Beispiele

Für eine differenzierbare n-dimensionale Mannigfaltigkeit M ist das Reperbündel F(M) die Menge aller Basen der Tangentialräume TₓM für x ∈ M. Es besitzt die kanonische Projektion π: F(M) → M. Die Gruppe GL(n,ℝ) wirkt transitiv und treu auf den Fasern.

Galois-Überlagerungen sind Prinzipalbündel, deren Strukturgruppe die diskrete Gruppe der Decktransformationen ist.

Ist G eine Lie-Gruppe und H ⊂ G eine abgeschlossene Untergruppe, dann ist die Projektion π: G → G/H ein Prinzipalbündel mit Strukturgruppe H. Prinzipalbündel treten damit in der Topologie und Differentialgeometrie auf; außerdem bilden sie einen entscheidenden Teil des mathematischen Rahmens von Eichtheorien.

Assoziierte Vektorbündel

Aus einem Prinzipalbündel kann durch eine Gruppenwirkung auf einem Vektorraum ein assoziiertes Vektorbündel konstruiert werden. Für G = GL(n,ℂ) und ein G-Prinzipalbündel π: P → B lautet die Konstruktion

E = (P × ℂⁿ)/∼,

wobei (p,v) ∼ (pg,g⁻¹v) für alle g ∈ GL(n,ℂ) gilt. Analog erhält man aus einem GL(n,ℝ)-Prinzipalbündel ein reelles Vektorbündel.

Allgemeiner sei P → M ein G-Prinzipalbündel und ρ: G → Aut(V) eine reelle oder komplexe Darstellung, also eine Beschreibung der Gruppenwirkung von G auf dem Vektorraum V. Dann ist

E = (P ×ᵨ V) := (P × V)/G

mit der Äquivalenzrelation (p,v) ∼ (pg,ρ(g⁻¹)v) für alle g ∈ G ein Vektorbündel. Es heißt das mit π: P → B und ρ assoziierte Vektorbündel. Für G = GL(n,ℂ) stimmt diese Konstruktion bei Wahl der fundamentalen Darstellung mit der zuerst genannten Konstruktion überein.

Beim Reperbündel F(M) einer differenzierbaren n-dimensionalen Mannigfaltigkeit ist das Tangentialbündel TM das assoziierte Vektorbündel zur kanonischen Wirkung von GL(n,ℝ) auf ℝⁿ.

Reduktion, Zusammenhang und Elektromagnetismus

Ein G-Prinzipalbündel P → M kann auf eine Untergruppe H ⊂ G reduziert werden, wenn das Bündel P/H → M einen Schnitt besitzt. Insbesondere ist ein Prinzipalbündel genau dann trivial, wenn es sich auf die Untergruppe {1} ⊂ G reduzieren lässt.

Für das Rahmenbündel F(M) einer n-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit mit Strukturgruppe GL(n,ℝ) gelten wichtige Zusammenhänge:

• Eine Reduktion auf GL(k,ℝ) ⊂ GL(n,ℝ) ist genau dann möglich, wenn das Tangentialbündel n − k linear unabhängige Schnitte besitzt.
• Eine Reduktion auf O(n) ist immer möglich und entspricht der Wahl einer Riemannschen Metrik.
• Eine Reduktion auf SO(n) ist genau dann möglich, wenn die Mannigfaltigkeit orientierbar ist.
• Für n = 2m ist eine Reduktion auf GL(m,ℂ) ⊂ GL(2m,ℝ) genau dann möglich, wenn die Mannigfaltigkeit fastkomplex ist. Ist sie symplektisch, kann auf U(m) reduziert werden.
• Für n = 2m + 1 kann bei einer Kontaktstruktur auf U(m) × {1} reduziert werden.

Für die Untersuchung von Prinzipalbündeln sind Zusammenhangs-1-Formen ω ∈ Ω¹(P,𝔤) und ihre Krümmungs-2-Formen wichtig. Die Krümmung lautet

Ω = dω + ½[ω ∧ ω] ∈ Ω²(M,𝔤).

Im Elektromagnetismus betrachtet man die Minkowski-Raum-Zeit M = ℝ⁴ und das Prinzipalbündel M × S¹. In einem ladungsfreien ℝ³ erfüllen das elektrische Feld E und das Magnetfeld B die Maxwell-Gleichungen. Sie besitzen Potentiale φ und A mit

E = −grad φ + ∂A/∂t, B = rot A.

Diese Potentiale sind nicht eindeutig: Für eine beliebige Funktion f liefern φ′ = φ + ∂f/∂t und A′ = A + grad f dieselben Felder.

Mit der Zusammenhangsform

ω = dθ + φ dt + A₁ dx₁ + A₂ dx₂ + A₃ dx₃

ergibt sich die elektromagnetische Krümmungsform als

Ω = dω = −Σ Eᵢ dt ∧ dxᵢ + Σ Bᵢ dxⱼ ∧ dxₖ.

Die Eich-Transformationen haben die Form ω′ = ω + df. Die inhomogenen Maxwell-Gleichungen lassen sich als d*Ω = 0 schreiben, wobei * der Hodge-Operator ist.