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Schnitt (Faserbündel)
Schnitte sind Abbildungen, die in der algebraischen Topologie, insbesondere in der Homotopietheorie, untersucht werden. Man interessiert sich unter anderem …
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Grundidee und Bedeutung
Ein Schnitt ist eine Abbildung, die in der algebraischen Topologie, besonders in der Homotopietheorie, untersucht wird. Dabei interessiert unter anderem, unter welchen Bedingungen solche Abbildungen existieren. Differentialformen sind ein bekanntes Beispiel für Schnitte.
Ein Schnitt verallgemeinert den Graphen einer Funktion. Für eine Abbildung g:B→Y kann ihr Graph durch s:B→E mit E=B×Y beschrieben werden: s(x)=(x,g(x)). Bei der Projektion π:E=B×Y→B auf die erste Komponente gilt dann π(s(x))=x. Schnitte übertragen diese Idee auf Totalräume E, die nicht unbedingt kartesische Produkte sind.
Globaler Schnitt
Ein Faserbündel (E,B,π,F) besteht aus dem Totalraum E, dem Basisraum B, der Bündelprojektion π:E→B und der Faser F. Ein globaler Schnitt ist eine stetige Abbildung s:B→E mit
π(s(x))=(π∘s)(x)=x
für alle x∈B. Jeder Punkt des Basisraums wird also einem Punkt in genau der Faser über diesem Punkt zugeordnet. s ist ein Rechtsinverses zur Bündelprojektion π. Durch s kann B mit dem Teilraum s(B) von E identifiziert werden. Die Menge der globalen Schnitte wird meist mit Γ(B,E) oder Γ(E) bezeichnet.
Besondere Arten von Schnitten
Bei einem Vektorbündel heißt ein Schnitt s∈Γ(B,E) Schnitt mit kompaktem Träger, wenn es eine kompakte Menge K⊂B gibt, sodass für alle x∉K gilt: s(x)=(x,0). Die Menge dieser Schnitte wird mit Γc(B,E) beziehungsweise Γc(E) bezeichnet; statt des Zusatzes c wird auch 0 verwendet.
Ist B eine glatte Mannigfaltigkeit, E ein glattes Vektorbündel über B und s:B→E glatt, dann heißt s glatter globaler Schnitt. Die Menge der glatten Schnitte schreibt man Γ∞(E). Wenn keine Verwechslung möglich ist, wird der Zusatz ∞ oft weggelassen.
Beispiele und lokale Schnitte
In einem trivialen Faserbündel (F×B,B,π,F), bei dem π:F×B→B auf B projiziert, entsprechen die Schnitte s:B→F×B genau den stetigen Funktionen B→F.
Ein Vektorfeld v auf einer Mannigfaltigkeit M ist ein Schnitt des Tangentialbündels: Es ordnet jedem Punkt p∈M einen Punkt x∈TpM des zugehörigen Tangentialraums zu, also p↦(p,x=g(p)). Differentialformen sind Schnitte in der äußeren Potenz des Kotangentialbündels. Jedes Vektorbündel besitzt außerdem den Null-Schnitt s(x)=0 für alle x. Wichtig ist die Frage, wann es Schnitte gibt, die nirgendwo Null sind; sie spielt etwa bei der Untersuchung der Orientierbarkeit einer Mannigfaltigkeit eine Rolle. Dazu gehört als wichtiges Resultat der Satz vom Igel.
Allgemeine Faserbündel besitzen nicht immer globale Schnitte. Deshalb betrachtet man lokale Schnitte: Für eine offene Teilmenge U⊂B ist ein lokaler Schnitt eine Abbildung s:U→E mit π(s(x))=x für alle x∈U.