Faserbündel

Grundidee und Definition

Ein Faserbündel ist in der algebraischen Topologie ein Raum, der in kleinen Bereichen wie ein kartesisches Produkt aussieht. Es ist wichtig in Homotopietheorie, Differentialgeometrie und Differentialtopologie.

Formal ist es ein Quadrupel (E,B,π,F) aus topologischen Räumen E, B, F und einer stetigen surjektiven Abbildung π:E→B. Zu jedem x∈B gibt es eine offene Umgebung U⊆B und einen Homöomorphismus φ:π⁻¹(U)→U×F, für den proj₁∘φ=π gilt. φ heißt lokale Trivialisierung, π Projektion, B Basisraum, E Totalraum und F Faser. Die Faser über b∈B ist F_b=π⁻¹({b}); daher schreibt man auch F↪E→B.

Lokal ist ein Bündel also stets U×F, global kann es davon abweichen. E trägt dabei auf π⁻¹(U) die Teilraumtopologie, U×F die Produkttopologie. Jedes Faserbündel ist eine Serre-Faserung.

Triviale und nichttriviale Beispiele

Beim trivialen oder Produktbündel gilt E=B×F und π ist die Projektion auf den ersten Faktor: Die Produktstruktur besteht nicht nur lokal, sondern auf dem ganzen Basisraum.

Ein Bündel mit diskreter Faser ist eine Überlagerung. Umgekehrt ist jede Überlagerung mit Fasern gleicher Kardinalität ein Faserbündel mit diskreter Faser. Insbesondere gilt dies für Überlagerungen über zusammenhängendem Basisraum.

Das Möbiusband ist ein nichttriviales Bündel über S¹ mit Faser [-1,1]. Sein Totalraum ist E=([0,1]×[-1,1])/∼ mit (0,a)∼(1,-a). Die Projektion bildet [(x,y)] auf [x] ab, wobei auf S¹ die Beziehung 0∼1 gilt. Das zugehörige triviale Bündel S¹×[-1,1] ist ein Zylinder. Die Verdrehung der Faser unterscheidet beide global, nicht aber lokal.

Auch die Kleinsche Flasche ist nichttrivial: E=([0,1]×[0,1])/∼ mit (0,y)∼(1,y) und (x,0)∼(1-x,1). Die Projektion [(a,b)]↦[b] hat Basis und Faser S¹. Das entsprechende Produktbündel S¹×S¹ ist ein Torus; lokal sind Torus und Kleinsche Flasche nicht unterscheidbar.

Das Hopf-Bündel S¹↪S³→S² ist ein frühes nichttriviales Beispiel. Es ist der Fall n=1 von S¹↪S²ⁿ⁺¹→ℂPⁿ. Verallgemeinerungen sind S⁰↪Sⁿ→ℝPⁿ, für n=1 also S⁰↪S¹→S¹, ferner S³↪S⁷→S⁴≅ℍP¹ und S⁷↪S¹⁵→S⁸. Weitere Bündel, bei denen Faser, Totalraum und Basisraum Sphären sind, existieren nicht; dies folgt aus dem Satz von Adam.

Schnitte und Bündelmorphismen

Ein globaler Schnitt ist eine stetige Abbildung s:B→E mit π∘s=id_B, also (π∘s)(b)=b. Er wählt für jeden Basispunkt b ein Element s(b)∈π⁻¹({b}) seiner Faser. Ein lokaler Schnitt erfüllt dieselbe Bedingung nur auf einer offenen Teilmenge V⊆B.

Ein Bündelmorphismus zwischen (E₁,B₁,π₁,F₁) und (E₂,B₂,π₂,F₂) ist ein Paar (u,f) mit u:E₁→E₂ und f:B₁→B₂, für das π₂∘u=f∘π₁ gilt. Damit wird die Faser über b auf die Faser über f(b) abgebildet: u(π₁⁻¹(b))⊆π₂⁻¹(f(b)).

Bei gleichem Basisraum B hat ein B-Morphismus die Form (u,id_B) und erfüllt π₁=π₂∘u. Dann ist u fasererhaltend, denn u(π₁⁻¹({b}))⊆π₂⁻¹({b}).

Koordinaten- und Hauptfaserbündel

Lokale Trivialisierungen über offenen Mengen U_i bilden einen Atlas. Auf Überschneidungen U_i∩U_j beschreiben Übergangsfunktionen, wie zwei Produktdarstellungen zusammenpassen. Sie sind stetige Abbildungen Φ_i,j:U_i∩U_j→Aut(F); für b lautet die zugehörige Abbildung der Faser Φ_i,j(b)=(pr_F∘h_Ui∘h_Uj⁻¹)(b,·):F→F.

Ein Koordinatenbündel besitzt zusätzlich eine effektive topologische Transformationsgruppe G, die stetig auf F operiert. Die Übergänge entsprechen dann Elementen von G und liefern stetige Funktionen τ_j,i:U_i∩U_j→G. Sie erfüllen τ_k,j(b)τ_j,i(b)=τ_k,i(b), τ_i,i(b)=id_G und τ_j,k(b)=(τ_k,j(b))⁻¹. Ein G-Faserbündel ist eine Äquivalenzklasse solcher Koordinatenbündel. Der Bündelkonstruktionssatz garantiert ein Koordinatenbündel aus einer Überdeckung und Übergangsfunktionen mit diesen Eigenschaften.

Ein G-Hauptfaserbündel ist ein Bündel, dessen Strukturgruppe G auf der Faser durch Linksmultiplikation und frei auf dem Totalraum durch Rechtsmultiplikation operiert; der Bahnenraum ist B. Es heißt universell, wenn [X,B]→Prin_G(X) für jeden Raum X bijektiv ist. Dann heißt B klassifizierender Raum von G. G-Faserbündel und Hauptfaserbündel können einander zugeordnet werden: Beim assoziierten Hauptbündel wird die Faser G gewählt; umgekehrt entsteht aus einem Hauptbündel E→B und einem linken G-Raum F das Bündel (E×F)/G→B mit π_F((x,b)G)=π(x).

Vektor- und Sphärenbündel

Ein Vektorbündel vom Rang n über einem Körper 𝕂 ist ein Bündel V→E→π B, dessen Fasern n-dimensionale 𝕂-Vektorräume sind. Jede lokale Trivialisierung muss auf jeder Faser einen 𝕂-linearen Isomorphismus induzieren; insbesondere gilt π⁻¹(x)≅{x}×V. Häufig sind 𝕂=ℝ oder 𝕂=ℂ.

Für parakompakte Räume B gibt es die Bijektion [B,G_n(ℝ^∞)]≅Vect^n(B) zwischen Homotopieklassen von Abbildungen in eine Graßmann-Mannigfaltigkeit und Isomorphieklassen von Vektorbündeln. Beispiele sind das Tangentialbündel von Sⁿ mit E={(x,v)∈Sⁿ×ℝⁿ⁺¹ | x⊥v=0} und Fasern ℝⁿ sowie das kanonische Bündel γ_k^n über G_k(ℝⁿ), dessen Totalraum {(V,x)∈G_k(ℝⁿ)×ℝⁿ | x∈V} ist.

Ein n-Sphärenbündel hat Sⁿ als Faser und oft O(n+1) als Strukturgruppe. Es heißt orientierbar, wenn die Strukturgruppe die Drehgruppe ist. Seine Kohomologie kann mit der Gysin-Sequenz berechnet werden.

Kohomologie von Bündeln

Kohomologiegruppen von Faserbündeln sind schwieriger zu bestimmen als Homotopiegruppen. Für Homotopiegruppen gibt es eine lange exakte Sequenz; für Kohomologie nur unter zusätzlichen Voraussetzungen. Beim trivialen Bündel beschreibt die Künneth-Formel die Kohomologie, bei allgemeinen Bündeln werden etwa Spektralsequenzen verwendet. Der Satz von Leray-Hirsch nennt ausreichende Bedingungen, unter denen die Kohomologie der eines trivialen Bündels sehr ähnlich ist.

Für orientierbare (n-1)-Sphärenbündel p:E→B gibt es die Gysin-Sequenz:

…→H^(i-n)(B;R) ─∪e→ H^i(B;R) ─p*→ H^i(E;R)→H^(i-n+1)(B;R)→… .

Dabei ist e eine Eulerklasse in H^n(B;R). Beim Hopf-Bündel S¹→S³→S² gilt H*(S³)≉H*(S²)⊗H*(S¹); es hat also nicht die Kohomologiestruktur eines trivialen Bündels. Für U(n-1)↪U(n)→S^(2n-1) gilt H*(U(n);ℤ)≈Λ_ℤ[x₁,x₃,…,x_(2n-1)].