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Geobrett
Das Geobrett (oder Nagelbrett) ist ein verbreitetes Arbeitsmittel im Geometrieunterricht der Primar- und Sekundarstufe. Selbstgefertigtes (5×5)-Geobrett mit …
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Grundidee und Aufbau
Das Geobrett, auch Nagelbrett genannt, ist ein verbreitetes Arbeitsmittel im Geometrieunterricht der Primar- und Sekundarstufe. Es besteht meist aus einem quadratischen Brettchen, auf dem Nägel so angeordnet sind, dass ein quadratisches Gitter entsteht. Die Zahl der Nägel beträgt mindestens 9 bei einem 3×3-Gitter, häufig 16 bei einem 4×4-Gitter oder 25 bei einem 5×5-Gitter. Nach oben ist die Größe nur durch die praktische Handhabung des Brettes begrenzt.
Mit verschiedenfarbigen Gummibändern können auf den Nägeln geometrische Figuren gespannt werden. Diese Figuren lassen sich dann untersuchen, vergleichen und verändern. Im Mathematikunterricht wird das Geobrett vor allem für ebene geometrische Figuren, für Flächenberechnungen und für geometrische Transformationen der Ebene verwendet. Zu diesen Transformationen gehören Verschiebung, Drehung, Spiegelung, Streckung und deren Hintereinanderausführung.
Das Geobrett wurde zu Beginn der 1950er Jahre von dem ägyptischstämmigen Mathematiker und Pädagogen Caleb Gattegno (1911–1988) erfunden.
Linien auf dem Gitter
Auf einem Geobrett können Strecken und Geraden zwischen Gitterpunkten untersucht werden. Eine Strecke verbindet zwei Nägel, also zwei Gitterpunkte. Eine Gerade ist die durch solche Punkte festgelegte unendliche Linie; mehrere Strecken können auf derselben Geraden liegen.
Die Anzahl der möglichen Strecken auf einem n×n-Gitter ergibt sich mit dem Binomialkoeffizienten aus der Anzahl aller Paare von Gitterpunkten:
#s(n) = (n² über 2) = n²(n² - 1) / 2.
Beispiele aus dem Artikel sind: 6 Strecken auf dem 2×2-Gitter, 36 auf dem 3×3-Gitter, 120 auf dem 4×4-Gitter und 300 auf dem 5×5-Gitter.
Für die Anzahl der Geraden auf einem n×n-Gitter ist keine explizite Formel bekannt; es gibt aber rekursive Formeln. Genannt werden unter anderem Formeln mit dem größten gemeinsamen Teiler ggT und mit der Eulerschen φ-Funktion. Die Zahlenbeispiele lauten: 6 Geraden auf dem 2×2-Gitter, 20 auf dem 3×3-Gitter, 62 auf dem 4×4-Gitter und 140 auf dem 5×5-Gitter. Der Anteil der Geraden im Vergleich zu den Strecken nimmt in diesen Beispielen ab: von 100 % beim 2×2-Gitter über 55,6 % und 51,7 % bis zu 46,7 % beim 5×5-Gitter.
Figuren untersuchen
Bei der Untersuchung von Figuren stehen auf dem Geobrett vor allem drei Fragen im Vordergrund: Welche Symmetrieeigenschaften haben geometrische Figuren? Wie liegen innere und äußere Gitterpunkte sowie Gitterpunkte auf den Seiten von Vielecken? Welche Arten oder Anzahlen einfacher geometrischer Figuren sind möglich?
Für Dreiecke gibt der Artikel Zahlen für n×n-Gitter mit 2 ≤ n ≤ 5 an. Insgesamt gibt es 4 Dreiecke auf dem 2×2-Gitter, 76 auf dem 3×3-Gitter, 516 auf dem 4×4-Gitter und 2148 auf dem 5×5-Gitter. Die Anzahl der Dreiecke auf einem n×n-Gitter wird mit einer Formel berechnet, die Binomialkoeffizienten und den größten gemeinsamen Teiler verwendet:
#△(n) = (n² über 3) + n(n+1 über 3) - 2·Σᵢ₌₂ⁿ Σₖ₌₂ⁿ (n-i+1)(n-k+1) ggT(i-1,k-1).
Die Dreiecke werden nach Winkelgrößen in drei disjunkte Klassen eingeteilt: spitzwinklige, rechtwinklige und stumpfwinklige Dreiecke. Disjunkt bedeutet hier, dass ein Dreieck jeweils nur zu einer dieser Klassen gehört. Außerdem werden Dreiecke nach Seitenlängen in unregelmäßige, also ungleichseitige, und gleichschenklige Dreiecke eingeteilt. Gleichseitige Dreiecke würden zu den gleichschenkligen zählen, können auf dem Geobrett aber nicht vorkommen.
Daher gelten die Beziehungen: #△ = #△spitzwinklig + #△rechtwinklig + #△stumpfwinklig, außerdem #△ = #△ungleichseitig + #△gleichschenklig. Für gleichschenklige Dreiecke gilt zusätzlich: #△gleichschenklig = #△spitzwinkliggleichschenklig + #△rechtwinkliggleichschenklig + #△stumpfwinkliggleichschenklig.
Vierecke und ihre Beziehungen
Auch Vierecke können auf dem Geobrett gezählt und nach ihrer Form geordnet werden. Der Artikel nennt für 2×2-, 3×3-, 4×4- und 5×5-Gitter unter anderem vollständige Vierecke, Vierecke, konkave Vierecke, Pfeilvierecke, konvexe Vierecke, Trapeze, Parallelogramme, Drachen, Rauten, Rechtecke und Quadrate.
Für alle Vierecke werden folgende Zahlen genannt: 1 auf dem 2×2-Gitter, 94 auf dem 3×3-Gitter, 1758 auf dem 4×4-Gitter und 13698 auf dem 5×5-Gitter. Konvexe Vierecke, also Vierecke ohne einspringende Ecke, treten mit 1, 70, 1038 und 7398 auf. Konkave Vierecke, also Vierecke mit einer einspringenden Ecke, treten mit 0, 24, 720 und 6300 auf. Für Quadrate werden 1, 6, 20 und 50 angegeben.
Die Vierecke werden zunächst in die disjunkten Klassen der konkaven und konvexen Vierecke eingeteilt. Deshalb gilt: #□ = #□konkav + #□konvex. Innerhalb der konvexen Vierecke überschneiden sich manche Teilklassen, weil eine Figur mehrere Eigenschaften gleichzeitig haben kann. Ein Quadrat ist zum Beispiel zugleich Rechteck und Raute.
Der Artikel nennt diese Beziehungen: Quadrate = Rechtecke ∩ Rauten. Außerdem gilt: Quadrate ⊂ Rechtecke ⊂ Parallelogramme ⊂ Trapeze ⊂ konvexe Vierecke ⊂ Vierecke. Ebenso gilt: Quadrate ⊂ Rauten ⊂ Parallelogramme ⊂ Trapeze ⊂ konvexe Vierecke ⊂ Vierecke sowie Quadrate ⊂ Rauten ⊂ Drachen ⊂ konvexe Vierecke ⊂ Vierecke. Für konkave Vierecke gilt: Pfeilvierecke ⊂ konkave Vierecke ⊂ Vierecke. Aus solchen Teilmengenbeziehungen lassen sich Anzahlen spezieller Vierecksarten durch Differenzbildung bestimmen, etwa Rechtecke, die keine Quadrate sind.
Flächen berechnen
Für die Flächenberechnung von Gittervielecken verwendet der Artikel den Satz von Pick aus dem Jahr 1899. Ein Gittervieleck ist ein Vieleck, dessen Eckpunkte auf Gitterpunkten liegen. Der Satz verbindet den Flächeninhalt mit der Anzahl bestimmter Gitterpunkte.
Hat ein Gittervieleck r Gitterpunkte auf dem Rand und i innere Gitterpunkte, dann beträgt sein Flächeninhalt
A = 1/2 · r + i - 1
Gitterquadrate.
Dabei bedeutet r die Anzahl der Gitterpunkte auf dem Rand des Vielecks, also auf seinen Seiten einschließlich der Eckpunkte. i bezeichnet die Anzahl der Gitterpunkte, die vollständig im Inneren des Vielecks liegen. Der Flächeninhalt A wird in Gitterquadraten angegeben, also in Einheitsflächen des zugrunde liegenden Gitters.
Weiterführende Materialien
Der Artikel nennt mehrere Werke und Aufgabensammlungen zum Geobrett. Dazu gehören Caleb Gategno: „Geoboard geometry“ (New York: Educational Solutions Worldwide Inc., 1971, ISBN 978-0-87825-020-2), Karl-Heinz Keller: „Am Geo-Brett Geometrie entdecken. Ein Grundkurs in Geometrie“ (Offenburg: Mildenberger, 2002, ISBN 978-3-619-02520-6), Judith und Ulrich Lüttringhaus: „Das große Geobrett. Bd. 1: Geometrische Konstruktionen“ (Augsburg: Brigg, 2009, ISBN 3-87101-427-3), Hans-Günter Senftleben: „Aufgabensammlung für das große Geobrett“ (Hamburg: Rittel, 2001, ISBN 3-936443-01-7) und Horst Steibl: „Geobrett im Unterricht“ (Hildesheim; Berlin: Franzbecker, 2006, ISBN 3-88120-417-2).
