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Sinus- und Kosinus-Transformation
Die Sinus- und Kosinus-Transformation sind zwei Varianten der kontinuierlichen Fourier-Transformation, die ausschließlich für reelle Zahlen definiert sind, …
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Grundidee und Bedeutung
Die Sinus- und die Kosinus-Transformation sind Varianten der kontinuierlichen Fourier-Transformation für reelle Signale. Sie sind Integraltransformationen und werden unter anderem in der Signalverarbeitung verwendet. Für zeitdiskrete Signalfolgen gibt es die davon abgeleitete Diskrete Sinustransformation (DST) und Diskrete Kosinustransformation (DCT).
Mithilfe der Eulerschen Identität e^(i x) = cos(x) + i · sin(x) lässt sich der Kern der Fourier-Transformation in einen Real- und einen Imaginärteil zerlegen. Dabei ist i die imaginäre Einheit; in der Technik wird dafür meist j geschrieben, weil i dort bereits die Stromstärke bezeichnet. Der Kosinus bildet den Kern der Kosinus-Transformation, der Sinus den Kern der Sinus-Transformation.
Gerade und ungerade Signalanteile
Der Kosinus ist eine gerade Funktion. Deshalb beschreibt die Kosinus-Transformation den geraden Signalanteil der Fourier-Transformierten eines reellen Signals. Der Sinus ist eine ungerade Funktion; entsprechend beschreibt die Sinus-Transformation den ungeraden Signalanteil.
Ein gerader Anteil bleibt bei einer Spiegelung an t = 0 unverändert, während ein ungerader Anteil dabei sein Vorzeichen wechselt. Diese Aufteilung erklärt, warum im Allgemeinen beide Transformationen für die vollständige Beschreibung eines reellen Signals notwendig sind.
Definitionen
Für ein reelles Signal y(t) ist die Sinus-Transformation definiert als
Yₛ(f) = SIN{y(t)} = ∫₋∞^∞ y(t) sin(2πft) dt.
Die Kosinus-Transformation ist definiert als
Y꜀(f) = COS{y(t)} = ∫₋∞^∞ y(t) cos(2πft) dt.
Dabei bezeichnet t die ursprüngliche Variable und f die Frequenzvariable der transformierten Darstellung.
Rückgewinnung des Signals
Da die Kosinus-Transformation nur den geraden und die Sinus-Transformation nur den ungeraden Anteil enthält, werden im Allgemeinen beide zur Wiederherstellung des Signals benötigt:
y(t) = 2∫₋∞^∞ Y꜀(f) cos(2πft) df + 2∫₋∞^∞ Yₛ(f) sin(2πft) df.
Der erste Summand ist der gerade, der zweite der ungerade Anteil. Ist bereits bekannt, dass das Signal gerade ist, verschwindet sein ungerader Anteil. Bei einem ungeraden Signal verschwindet entsprechend der gerade Anteil.
Der notwendige Vorfaktor kann zwischen Hin- und Umkehrtransformation verteilt werden. Im Artikel steht bei der Sinus- beziehungsweise Kosinus-Transformation der Faktor 1 und bei der Umkehrtransformation der Faktor 2. Eine häufige symmetrische Variante verwendet für beide Richtungen jeweils den Faktor √2.
Beziehung zur Fourier-Transformation
Die Fourier-Transformation eines reellen Signals y(t) lautet
Y(f) = F{y(t)} = ∫₋∞^∞ y(t) e^(−2πift) dt.
Sie lässt sich aus beiden reellen Transformationen zusammensetzen:
F{y(t)} = COS{y(t)} − i · SIN{y(t)}.
Die Kosinus-Transformation liefert somit den reellen Anteil, während die Sinus-Transformation mit dem Faktor −i in den imaginären Anteil eingeht. Für ein reelles und gerades Signal geht die Fourier-Transformation in die Kosinus-Transformation über. Für ein reelles und ungerades Signal geht sie bis auf einen konstanten Vorfaktor in die Sinus-Transformation über.