Fastring

Grundidee und Definition

Ein Fastring ist eine Verallgemeinerung eines Ringes. Anders als bei einem Ring muss die Addition nicht kommutativ sein, und es muss nur ein einseitiges Distributivgesetz gelten. Fastringe werden besonders verwendet, um algebraisch mit Funktionen auf Gruppen zu arbeiten.

Ein Rechtsfastring, kurz Fastring, ist eine algebraische Struktur (F,+,·) mit zwei zweistelligen Verknüpfungen Addition + und Multiplikation ·. Es gilt: (F,+) ist eine Gruppe, (F,·) ist eine Halbgruppe, und das rechtsseitige Distributivgesetz gilt: (a+b)·c=(a·c)+(b·c) für alle a,b,c∈F.

Ein Linksfastring entsteht entsprechend, wenn statt des rechtsseitigen das linksseitige Distributivgesetz gilt: c·(a+b)=(c·a)+(c·b) für alle a,b,c∈F. Gilt beides, heißt der Fastring distributiv, also Rechts- und Linksfastring zugleich.

Wichtige Begriffe

Ein Fastring (F,+,·) heißt abelsch, wenn die additive Gruppe (F,+) kommutativ ist. Ist dagegen die multiplikative Halbgruppe (F,·) kommutativ, nennt man den Fastring kommutativ. Kommutative Fastringe sind immer distributiv.

Produkte schreibt man oft ohne Multiplikationszeichen, also ab:=a·b. Dabei bindet die Multiplikation stärker als die Addition.

Auf einem Fastring kann man eine Subtraktion durch a-b:=a+(-b) für alle a,b∈F definieren. Für einen Rechtsfastring gilt dann ebenfalls ein rechtsseitiges Distributivgesetz der Subtraktion: (a-b)·c=(a·c)-(b·c) für alle a,b,c∈F. Für einen Linksfastring gilt entsprechend die linksseitige Version.

Null und Eins

Jeder Fastring besitzt ein neutrales Element 0 bezüglich der Addition. Das bedeutet: 0+a=a+0=a für alle a∈F. Dieses Element heißt Nullelement oder kurz Null.

In einem Rechtsfastring ist die Null bezüglich der Multiplikation linksabsorbierend: 0·a=0 für alle a∈F. In einem Linksfastring ist sie rechtsabsorbierend. Im Allgemeinen ist die Null aber nicht beidseitig absorbierend.

Besitzt ein Fastring zusätzlich ein neutrales Element 1 bezüglich der Multiplikation, also 1·a=a·1=a für alle a∈F, dann heißt dieses Element Einselement oder kurz Eins.

Fastkörper und Halbfastring

Ein Fastring (F,+,·) heißt Fastkörper, wenn zusätzlich (F{0},·) eine Gruppe bildet. Es lässt sich zeigen, dass die additive Gruppe dann abelsch ist.

Der Begriff Fastring kann weiter zu einem Halbfastring verallgemeinert werden. Dabei verlangt man für die Addition nicht mehr, dass (F,+) eine Gruppe ist, sondern nur noch, dass (F,+) eine Halbgruppe ist.

Typische Beispiele

Ein wichtiges Beispiel sind Mengen von Selbstabbildungen auf Gruppen. Sei (G,+) eine Gruppe und G^G die Menge aller Funktionen f:G→G. Die Addition wird punktweise definiert: (f+g)(x):=f(x)+g(x) für alle x∈G. Mit der Komposition ∘ bildet G^G ein Monoid. Dadurch ist (G^G,+,∘) ein Fastring mit Eins id_G, weil das rechtsseitige Distributivgesetz automatisch gilt.

Ein weiteres Beispiel konstruiert Fastkörper aus einer Gruppe (F,+,0) und einer Untergruppe A der Automorphismengruppe von F, die scharf-transitiv auf F{0} operiert. Das heißt: Für zwei Elemente x,y∈F{0} gibt es genau ein g∈A mit g(x)=y. Wählt man e∈F{0}, kann man eine Multiplikation ∘ so definieren, dass (F,+,∘,0,e) ein Fastkörper wird. Seine multiplikative Gruppe ist isomorph zu A. Für F=Z_3^2 enthält die Automorphismengruppe eine Untergruppe, die isomorph zur Quaternionengruppe der Ordnung 8 ist; daraus erhält man ein minimales Beispiel für einen Fastkörper, der kein Körper ist.

Die Menge aller abzählbaren Ordinalzahlen bildet mit Ordinalzahladdition und Ordinalzahlmultiplikation einen Links-Halb-Fastring. Hier ist die Addition keine Gruppe, sondern nur ein nicht kommutatives Monoid, und es gilt nur das linke Distributivgesetz.

Weitere Struktur

Jeder Fastring (F,+,·) besitzt zwei besondere Teile. Der 0-symmetrische Teil ist F_0={a∈F | a·0=0}. Der konstante Teil ist F_c={a∈F | a·0=a}. Für beide gilt F_0∩F_c={0}.