Kommutatives Diagramm – einfach erklärt

Grundidee und Bedeutung

Ein kommutatives Diagramm ist ein mathematisches Diagramm, in dem verschiedene Verkettungen von Abbildungen zum gleichen Ergebnis führen. Eine Abbildung f von A nach B wird dabei als Pfeil dargestellt. Eine weitere Abbildung g von B nach C kann als anschließender Pfeil gezeichnet werden; die Verkettung wird mit g ∘ f bezeichnet.

Man kann zusätzlich einen Pfeil h von A nach C einzeichnen. Das Diagramm kommutiert genau dann, wenn h mit der Verkettung g ∘ f übereinstimmt. Allgemein gilt: Für alle Wege von X nach Y müssen die Verkettungen der zugehörigen Abbildungen gleich sein. Kurz gesagt: Ein Diagramm kommutiert, „wenn es egal ist, welchen Weg man wählt“.

Formale Definition

Sei G = (V, E) ein gerichteter Graph. Ein Diagramm X in der Kategorie 𝒞 der Form G besteht aus folgenden Daten:

Für jeden Knoten v ∈ V gibt es ein Objekt X(v) ∈ 𝒞.
Für jede Kante e: v → w in E gibt es einen Morphismus X(e): X(v) → X(w).

Ein Morphismus ist hierbei die Abbildung, die einer Kante des Diagramms zugeordnet ist. Das Diagramm X heißt kommutativ, wenn für je zwei Knoten v, w ∈ V und je zwei Pfade (eₙ, ..., e₁) und (fₘ, ..., f₁) von v nach w in G die folgende Gleichung gilt:

X(eₙ) ∘ ⋯ ∘ X(e₁) = X(fₘ) ∘ ⋯ ∘ X(f₁).

Damit wird die Grundidee präzisiert: Unabhängig davon, welchen der möglichen Pfade man von v nach w nimmt, müssen die durch Hintereinanderausführung entstehenden Morphismen übereinstimmen.

Beispiele und Diagrammjagd

Ein Beispiel betrifft eine Abbildung f und eine mögliche inverse Abbildung f⁻¹. Das Diagramm kommutiert genau dann, wenn

f⁻¹ ∘ f = id

und

f ∘ f⁻¹ = id

gilt. Dies sind genau die Bedingungen dafür, dass f⁻¹ die zu f inverse Abbildung ist.

In einem weiteren Beispiel bezeichnet μ die Multiplikation, also μ(x, y) = xy. Das Diagramm kommutiert genau dann, wenn

x(yz) = (xy)z

gilt. Es stellt damit das Assoziativgesetz der Multiplikation reeller Zahlen dar.

Die Diagrammjagd, englisch „diagram chasing“, ist ein Beweisverfahren, das besonders in der homologischen Algebra verwendet wird. Aus einem gegebenen kommutativen Diagramm nutzt man formale Eigenschaften von Abbildungen, etwa Injektivität, Surjektivität oder Exaktheit. Dazu „jagt“ man Elemente der Objekte auf verschiedenen Wegen durch das Diagramm und vergleicht die Ergebnisse. Das Diagramm veranschaulicht dabei einen formal auch ohne Diagramm gültigen Beweis.

Typische Beispiele sind die üblichen Beweise des Fünferlemmas, des Schlangenlemmas, des Zick-Zack-Lemmas und des Neunerlemmas.

Ein solcher Beweis durch Diagrammjagd ist unmittelbar nur in Kategorien gültig, deren Objekte Mengen mit Zusatzstruktur und deren Morphismen entsprechende Abbildungen zwischen diesen Mengen sind, die wie üblich durch Hintereinanderausführung verknüpft werden. Für allgemeinere Kategorien kann man entweder den Einbettungssatz von Mitchell verwenden. Dieser erlaubt, jede (kleine) abelsche Kategorie als eine konkrete Kategorie von Moduln aufzufassen. Alternativ kann man statt Elementen Äquivalenzklassen von Morphismen mit dem entsprechenden Ziel verwenden; die Rechenregeln sind dieselben wie für Elemente.

Wird Diagrammjagd zur Konstruktion von Abbildungen eingesetzt, sind die konstruierten Abbildungen im Allgemeinen „natürlich“. Besitzt man zwei Exemplare desselben Diagramms mit verschiedenen Objekten und Homomorphismen sowie einen Homomorphismus zwischen den Diagrammen, also Homomorphismen von jedem Objekt des ersten zu dem entsprechenden Objekt des zweiten Diagramms, sodass alle entstehenden Maschen kommutativ sind, dann kommutieren auch die beiden konstruierten Abbildungen mit diesen Homomorphismen.