Elliptische Modulform

Kernidee und Definition

Elliptische Modulformen sind komplexe Funktionen mit besonders starker Symmetrie. Sie gehören zu den wichtigsten Objekten der modernen Mathematik, weil sie Verbindungen zwischen Zahlentheorie, Geometrie, Darstellungstheorie, Gruppentheorie, Kombinatorik, Topologie, Stringtheorie und weiteren Gebieten herstellen. Das Wort „elliptisch“ bedeutet hier, dass diese Modulformen mit Modulräumen elliptischer Kurven zusammenhängen.

Der einfachste Definitionsbereich ist die obere Halbebene \mathbb H=\{z\in\mathbb C:\operatorname{Im}(z)>0\}. Die volle Modulgruppe ist \mathrm{SL}_2(\mathbb Z)=\{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}:a,b,c,d\in\mathbb Z,\ ad-bc=1\}. Sie wirkt auf \mathbb H durch Möbiustransformationen z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}.

Eine holomorphe Funktion f:\mathbb H\to\mathbb C heißt ganze elliptische Modulform vom Gewicht k\in\mathbb Z zur vollen Modulgruppe, wenn sie die Funktionalgleichungen (cz+d)^{-k}f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)=f(z) für alle ganzen a,b,c,d mit ad-bc=1 erfüllt und außerdem die Wachstumsbedingung besitzt, dass \lim_{\operatorname{Im}(z)\to\infty}f(z) existiert. Für k=0 spricht man von einer Modulfunktion; dann gilt echte Invarianz f(\frac{az+b}{cz+d})=f(z). Ganze Modulfunktionen sind jedoch nur konstant, weshalb das Gewicht k eine wichtige Abschwächung der Invarianz ist.

Da aus der Matrix T=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} stets f(z+1)=f(z) folgt, ist jede Modulform 1-periodisch. Deshalb besitzt sie eine Fourier-Entwicklung f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(f)q^n mit q=e^{2\pi iz} im holomorphen Fall. Die Koeffizienten a_n(f) enthalten oft arithmetische Informationen.

Grundbegriffe und Aufbau

Zum Verständnis der Theorie braucht man mehrere Grundideen. Komplexe Zahlen haben die Form z=x+iy; die obere Halbebene besteht aus denen mit positivem Imaginärteil. Komplexe Funktionen lassen sich nicht wie reelle Funktionen vollständig in einer zweidimensionalen Kurve darstellen, da Eingabe und Ausgabe jeweils zweidimensional sind. Deshalb werden oft Farbdarstellungen benutzt.

Eine Gruppe ist eine Menge mit einer Verknüpfung, die assoziativ ist, ein neutrales Element besitzt und zu jedem Element ein Inverses enthält. Die volle Modulgruppe \mathrm{SL}_2(\mathbb Z) besteht aus 2\times2-Matrizen mit ganzzahligen Einträgen und Determinante 1. Sie wird durch S=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} und T=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} erzeugt. Darum genügt es bei der vollen Modulgruppe im Wesentlichen, die beiden Transformationsgesetze f(-1/z)=z^k f(z) und f(z+1)=f(z) zu prüfen.

Die Wirkung von \mathrm{SL}_2(\mathbb Z) auf \mathbb H führt zu Orbiträumen und Fundamentalbereichen. Ein Standardfundamentalbereich ist \mathcal F=\{z\in\mathbb H: |z|\geq1,\ |\operatorname{Re}(z)|\leq\tfrac12\}. Er beschreibt, wie die obere Halbebene durch Symmetrien der Modulgruppe in äquivalente Bereiche zerlegt wird.

Automorphe Formen verallgemeinern diese Idee: Man betrachtet Funktionen auf einem Raum, auf dem eine Gruppe wirkt, und verlangt eine Form von Invarianz zusammen mit guten analytischen Eigenschaften wie Holomorphie. Elliptische Modulformen zur vollen Modulgruppe sind solche automorphen Formen für X=\mathbb H und G=\mathrm{SL}_2(\mathbb Z).

Fourier-Reihen und Zahlentheorie

Modulformen sind in ihrer einfachsten Gestalt erzeugende Funktionen für Zahlenfolgen. Eine erzeugende Funktion fasst unendlich viele Werte a_n in einer Potenzreihe zusammen: f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n. In der Theorie der Modulformen schreibt man statt x meist q=e^{2\pi iz}. Dadurch wird aus der Potenzreihe eine Fourier-Reihe in z: \sum_{n=0}^{\infty}a_nq^n=\sum_{n=0}^{\infty}a_ne^{2\pi izn}.

Diese Fourier-Koeffizienten verbinden Modulformen mit additiver Zahlentheorie. Die Jacobi’sche Thetafunktion \theta(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{n^2}=1+2q+2q^4+2q^9+\cdots enthält die Quadratzahlen. Potenzen von \theta zählen Darstellungen von Zahlen als Summen von Quadraten. So zählt \theta(z)^2 Darstellungen N=m^2+n^2, und \theta(z)^4 Darstellungen als Summe von vier Quadraten.

Gleichzeitig führen dieselben Koeffizienten in die multiplikative Zahlentheorie. Einer Modulform f(z)=\sum a_nq^n kann man die Dirichlet-Reihe L(f,s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s} zuordnen. Sind die Koeffizienten multiplikativ, besitzt diese Reihe ein Euler-Produkt über Primzahlen. Dann spricht man von einer L-Funktion. Dieses Zusammenspiel aus additiver Struktur der Fourier-Reihe und multiplikativer Struktur des Euler-Produkts ist ein Hauptgrund für die Bedeutung von Modulformen.

Ein zentrales Beispiel ist die Beziehung zwischen Thetafunktion und Riemannscher Zetafunktion. Aus \frac12\theta(z)=\frac12+q+q^4+q^9+\cdots entsteht auf der L-Reihen-Seite \zeta(2s). Die Funktionalgleichung der Thetafunktion führt zur Funktionalgleichung der Zetafunktion und damit zur Symmetrie hinter der Riemannschen Vermutung.

Beispiele und Strukturen

Wichtige Beispiele sind Eisensteinreihen, Thetafunktionen, die Diskriminante \Delta und die j-Funktion. Für gerade k\geq4 ist die Eisensteinreihe G_k(z)=\sum_{(m,n)\in\mathbb Z^2\setminus\{(0,0)\}}\frac1{(mz+n)^k} eine ganze Modulform vom Gewicht k. Die normierte Eisensteinreihe E_k=G_k/(2\zeta(k)) hat konstanten Fourier-Term 1. Beispiele sind E_4(z)=1+240q+2160q^2+6720q^3+\cdots und E_6(z)=1-504q-16632q^2-122976q^3+\cdots.

Die Diskriminante ist eine Spitzenform vom Gewicht 12: \Delta(z)=\frac1{1728}(E_4(z)^3-E_6(z)^2)=q\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n)^{24}. Ihre Fourier-Entwicklung lautet \Delta(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n=q-24q^2+252q^3-1472q^4+\cdots, wobei \tau(n) die Ramanujansche tau-Funktion ist.

Die j-Funktion ist j(z)=\frac{E_4(z)^3}{\Delta(z)}. Sie ist eine Modulfunktion, holomorph auf \mathbb H, aber mit einfachem Pol in der Spitze. Ihre Fourier-Entwicklung beginnt j(z)=q^{-1}+744+196884q+21493760q^2+\cdots.

Die Modulformen eines festen Gewichts bilden endlichdimensionale Vektorräume. Für die volle Modulgruppe gilt bei geradem k\geq0: \dim \mathcal M_k=\lfloor k/12\rfloor, falls k\equiv2\pmod{12}, sonst \lfloor k/12\rfloor+1. Alle ganzen Modulformen zur vollen Modulgruppe werden eindeutig durch Polynome in E_4 und E_6 beschrieben: \mathcal M_k=\bigoplus_{4a+6b=k}\mathbb C E_4^aE_6^b. Der Körper der Modulfunktionen ist \mathbb C(j).

Verallgemeinerungen und Hecke-Theorie

Modulformen werden nicht nur zur vollen Modulgruppe betrachtet, sondern auch zu Kongruenzuntergruppen wie \Gamma_0(N), \Gamma_1(N) und \Gamma(N). Die Zahl N heißt Stufe oder Level. Für solche Gruppen muss eine Modulform das passende Transformationsgesetz nur für Matrizen der Untergruppe erfüllen und an allen Spitzen holomorph oder meromorph sein. Spitzen sind Äquivalenzklassen von \mathbb Q\cup\{i\infty\}. Es gibt außerdem Multiplikatorsysteme und Dirichlet-Charaktere \chi, bei denen die Transformationsformel um einen Faktor \chi(M) erweitert wird.

Zu einer Kongruenzuntergruppe \Gamma gehört die Modulkurve Y(\Gamma)=\Gamma\backslash\mathbb H. Durch Hinzufügen der Spitzen erhält man die kompakte Riemannsche Fläche X(\Gamma). Gewicht-2-Spitzenformen haben eine besondere geometrische Bedeutung: Für sie ist f(z)\,dz eine wohldefinierte holomorphe Differentialform auf der Quotientenfläche.

Hecke-Operatoren T_n wirken auf Modulformen und erklären viele arithmetische Eigenschaften ihrer Koeffizienten. Für f(z)=\sum a_nq^n ist (T_nf)(z)=\frac1n\sum_{ad=n,\ 0\leq b<d}a^k f\left(\frac{az+b}{d}\right). Sie kommutieren miteinander und erfüllen T_mT_n=\sum_{d\mid\gcd(m,n)}d^{k-1}T_{mn/d^2}. Eine normierte Hecke-Eigenform erfüllt T_nf=a_n(f)f. Dann sind die Fourier-Koeffizienten multiplikativ, und die L-Reihe besitzt ein Euler-Produkt L(f,s)=\prod_p\frac1{1-a_p(f)p^{-s}+p^{k-1-2s}}.

Das Petersson-Skalarprodukt macht Räume von Spitzenformen zu Hilberträumen; Hecke-Operatoren sind dazu selbstadjungiert. Daher gibt es orthogonale Basen aus Hecke-Eigenformen. Poincaré-Reihen liefern eine Methode, Modulformen explizit zu konstruieren und Fourier-Koeffizienten über Skalarprodukte zu rekonstruieren.

Bedeutung und Anwendungen

Die Theorie elliptischer Modulformen hat viele zentrale Anwendungen. Historisch reicht sie bis ins 19. Jahrhundert zu Gauß, Eisenstein, Jacobi, Klein und Fricke zurück. Der Begriff „Modulform“ wurde 1890 von Fricke und Klein verwendet und 1924 durch Erich Hecke etabliert. Später wurde die Theorie zu automorphen Formen erweitert.

In der Zahlentheorie stehen Modulformen besonders eng mit L-Funktionen in Verbindung. Die vervollständigte L-Reihe \Lambda(f,s)=(2\pi)^{-s}\Gamma(s)L(f,s) erfüllt für Modulformen zur vollen Modulgruppe die Funktionalgleichung \Lambda(f,s)=(-1)^{k/2}\Lambda(f,k-s). Der Umkehrsatz von Hecke besagt umgekehrt: Eine Dirichlet-Reihe mit passenden analytischen Eigenschaften und Funktionalgleichung stammt von einer Modulform.

Zwei Millennium-Probleme berühren diese Welt: die Riemannsche Vermutung und die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer. Die Große Riemannsche Vermutung für L-Funktionen von Hecke-Eigenformen behauptet, dass alle nichttrivialen Nullstellen auf der kritischen Geraden liegen. Für eine elliptische Kurve E/\mathbb Q besagt die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer, dass der algebraische Rang r von E(\mathbb Q) gleich der Nullstellenordnung von L(E,s) bei s=1 ist.

Der Modularitätssatz verbindet elliptische Kurven und Modulformen: Ist E eine elliptische Kurve über \mathbb Q mit Führer N, so existiert eine normierte Hecke-Eigenform f_E\in\mathcal S_2(\Gamma_0(N)) mit L(E,s)=L(f_E,s). Andrew Wiles und Richard Taylor bewiesen einen entscheidenden Teil dieses Satzes und ermöglichten damit den Beweis des Großen Fermatschen Satzes: x^n+y^n=z^n hat für ganze n>2 keine Lösung in natürlichen Zahlen x,y,z.

Weitere Anwendungen reichen von der Partitionsfunktion p(n), bei der Hardy, Ramanujan und Rademacher die Modularität der Dedekindschen Etafunktion nutzten, über Klassenkörpertheorie und Heegner-Punkte bis zu Kugelpackungen. Maryna Viazovska bewies 2016 mithilfe modularer Methoden die optimale Dichte der E_8-Gitterpackung in Dimension 8: \pi^4/384. Auch Monstrous Moonshine verbindet die j-Funktion mit der Monstergruppe, und Mock-Modulformen treten in Modellen schwarzer Löcher der Stringtheorie auf.