Elf

Definition und mathematische Eigenschaften

Die Elf (11) ist die natürliche Zahl zwischen Zehn und Zwölf. Sie ist positiv, ungerade und eine Primzahl; ihre einzigen Teiler sind 1 und 11. Im Dezimalsystem ist sie die kleinste zweistellige Primzahl und das kleinste zweistellige Primzahlpalindrom. Nach einer strengeren Definition gilt 11 allerdings nicht als Palindromzahl.

Die Elf ist eine zirkulare Primzahl: Durch zyklische Vertauschung ihrer Ziffern entstehen wieder Primzahlen. Außerdem ist 11 die kleinste Primzahl p, für die die Mersenne-Zahl M_p = 2^p − 1 keine Primzahl ist. Es gilt 2^11 − 1 = 2047 = 23 × 89. Für jede Zahl n > 11 existiert wenigstens eine Primzahl p > 11, die das Produkt n · (n + 1) · (n + 2) · (n + 3) teilt. Die Zahl 11 ist außerdem eine Størmer-Zahl.

In verschiedenen Zahlensystemen wird 11 unterschiedlich dargestellt: römisch XI, dual 1011, oktal 13, duodezimal B, hexadezimal B und chinesisch 十一.

Teilbarkeit und Rechenproben

Die Teilbarkeit durch 11 lässt sich mit der alternierenden Quersumme prüfen. Dazu werden die Ziffern an ungeraden Stellen addiert und die Ziffern an geraden Stellen subtrahiert. Eine Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn diese Wechselsumme 0 oder ein Vielfaches von 11 ist. Bei 12345 ergibt sich beispielsweise 5 − 4 + 3 − 2 + 1 = 3; die Zahl ist daher nicht durch 11 teilbar.

Eine weitere Methode teilt die Zahl ganzzahlig durch 100 und addiert den Rest. Dieser Vorgang wird wiederholt, bis das Ergebnis kleiner als 100 ist. Bei 5489 gilt: 54 + 89 = 143 und 1 + 43 = 44. Da 44 ein Vielfaches von 11 ist, ist 5489 durch 11 teilbar.

Alternativ kann man die Zahl ganzzahlig durch 10 teilen und den Rest subtrahieren, bis ein einstelliges Ergebnis entsteht. Für 5489 gilt: 548 − 9 = 539, 53 − 9 = 44 und 4 − 4 = 0. Daraus lässt sich in diesem Beispiel auch der Quotient 499 ablesen.

Elfer- und Neunerprobe dienen dazu, Rechenfehler bei Addition, Subtraktion oder Multiplikation natürlicher Zahlen zu erkennen. Ein positives Ergebnis macht eine Rechnung lediglich plausibel, beweist aber nicht ihre Richtigkeit, weil nicht alle Fehler entdeckt werden.

Naturwissenschaftliche Bedeutung

Im Periodensystem der Elemente ist 11 die Ordnungszahl von Natrium. Ein Sonnenjahr dauert elf Tage länger als zwölf synodische Monate. Das sumerische Neujahrsfest Atiki wurde elf Tage lang gefeiert.

Geschichte, Gesellschaft und Alltag

Die Elf galt einerseits als Symbol der Sünde und Maßlosigkeit, andererseits als Glückszahl. Im antiken Athen beaufsichtigten die Elfmänner das Gefängniswesen und überwachten den Vollzug der Todesstrafe.

Im 19. Jahrhundert wurde die Elf zur Zahl des rheinischen Karnevals. Ein Elferrat leitet die Prunksitzungen; in neuerer Zeit beginnt der Karneval am 11. November um 11:11 Uhr. Dies wird mit dem abgekürzten Wahlspruch der Französischen Revolution „Égalité, Liberté, Fraternité“ erklärt. Möglich ist zusätzlich eine Parodie auf zehn- oder zwölfköpfige Gremien. Die Elf ist die kleinste Schnapszahl. Weitere Bezüge sind Paragraph 11 in Bier-Comments und das Kinderkartenspiel „Elfer raus!“.

Im Fußball besteht eine Mannschaft seit 1870 regelgemäß aus elf Spielern; „Elf“ ist daher auch ein Synonym für Fußballmannschaft. Ein Elfmeter entspricht exakt 10,9728 m beziehungsweise 12 yards, da die ursprünglichen Spielfeldmaße in angelsächsischen Maßeinheiten festgelegt wurden. Die Rückennummer 11 gilt traditionell als Nummer des Linksaußens oder Stürmers. Die Schweizer Stadt Solothurn hat zahlreiche historische Bezüge zur Elf, die dort auch Solothurnerzahl genannt wird. Kaph oder Kaf ist der elfte Buchstabe des hebräischen Alphabets und hat den Zahlenwert 20.

Kunst, Literatur, Film und Musik

In der bildenden Kunst waren die Vereinigung der XI in Berlin und Die Elf in München bedeutende Künstlergruppen des späten 19. Jahrhunderts und Vorläufer der Berliner beziehungsweise Münchner Sezession. Die Gruppe 11 war eine Stuttgarter Künstlergruppe der 1950er Jahre.

Ein Elfchen ist ein kurzes Gedicht aus elf Wörtern, die nach einer festgelegten Folge auf fünf Verszeilen verteilt werden. „Elf Söhne“ ist eine Erzählung von Franz Kafka; „Elf Minuten“ („Onze Minutos“) ein Roman von Paulo Coelho.

Zu den filmischen Bezügen gehören der deutsche Spielfilm „Elf Jahre und ein Tag“ von Gottfried Reinhardt aus dem Jahr 1963, die Figur Elf aus der Netflix-Serie „Stranger Things“ sowie die österreichische Fernsehserie „Das 11er Haus“ von 2005. Die Figur Elf heißt im Original „Eleven“, trägt die Nummer 011 und wurde im Labor als Testsubjekt 011 registriert.

„Slash 11“ ist ein Schweizer DJ und Musikproduzent im Genre Melodic Techno. Außerdem gab es eine deutsche Punkrock-Band namens Elf und eine US-amerikanische Bluesrock-Band Elf, die aus „The Electric Elves“ beziehungsweise „The Elves“ hervorging und mit Ronnie James Dio verbunden ist.