Gauß-Test

Begriff, Zweck und Voraussetzungen

Der Gauß-Test, auch Z-Test, bezeichnet eine Gruppe statistischer Hypothesentests. Mit Stichprobenmittelwerten wird geprüft, ob die Erwartungswerte der zugehörigen Grundgesamtheiten bestimmte vorgegebene Werte besitzen oder ob sich zwei Erwartungswerte unterscheiden. Unter der Nullhypothese H₀ ist die Teststatistik Z standardnormalverteilt.

Der Test ähnelt dem t-Test. Der entscheidende Unterschied besteht darin, dass beim Gauß-Test die Standardabweichungen der Grundgesamtheiten bekannt sein müssen, während der t-Test mit den empirischen Standardabweichungen der Stichproben arbeitet. Außerdem verwendet der Gauß-Test die Standardnormalverteilung, der t-Test dagegen die t-Verteilung. Deshalb ist der Gauß-Test für kleine Stichproben nur bedingt geeignet.

Die üblichen Voraussetzungen sind unabhängige Beobachtungen, normalverteilte Grundgesamtheiten und bekannte Standardabweichungen. Bei verbundenen Stichproben bezieht sich die Normalverteilungsannahme auf die Differenzen der Messwertpaare.

Mathematische Grundlage

Sind X₁, X₂, …, Xₙ unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert μ_X und Standardabweichung σ_X, dann ist ihr arithmetisches Mittel

X̄ = (1/n) · ∑ᵢ₌₁ⁿ Xᵢ

normalverteilt. Es hat den Erwartungswert μ_X und die Standardabweichung σ_X/√n. Unter der Nullhypothese μ_X = μ₀ lässt sich die Abweichung des beobachteten Mittelwerts vom vorgegebenen Wert standardisieren. Die Gauß-Statistik lautet entsprechend

Z = √n · (X̄ − μ₀)/σ_X.

Sie ist unter H₀ standardnormalverteilt. Allgemein kann sie als standardnormalverteilte Zufallsvariable plus einem standardisierten Abstand zwischen dem wirklichen Erwartungswert μ_X und dem unterstellten Wert μ₀ aufgefasst werden.

Für zwei voneinander unabhängige Stichproben gilt: Sind X̄ und Ȳ die Mittelwerte von n beziehungsweise m unabhängigen normalverteilten Zufallsvariablen, dann ist X̄ − Ȳ normalverteilt. Der Erwartungswert beträgt μ_X − μ_Y, die Standardabweichung

√(σ_X²/n + σ_Y²/m).

Unter der Nullhypothese μ_X − μ_Y = δ ist daher

Z = ((X̄ − Ȳ) − δ)/√(σ_X²/n + σ_Y²/m)

standardnormalverteilt.

Die drei Testformen

Beim Einstichproben-Gauß-Test wird anhand einer Stichprobe x₁, …, xₙ geprüft, ob der unbekannte Erwartungswert μ einer normalverteilten Grundgesamtheit von einem vorgegebenen Wert μ₀ abweicht. Die Standardabweichung σ muss bekannt sein. Mit x̄ = (1/n) · ∑ᵢ₌₁ⁿ xᵢ wird

z = √n · (x̄ − μ₀)/σ

berechnet.

Beim Zweistichproben-Gauß-Test für unabhängige Stichproben werden die Erwartungswerte zweier Grundgesamtheiten verglichen. Die Stichproben x₁, …, xₙ und y₁, …, yₘ müssen sowohl innerhalb der Stichproben als auch untereinander unabhängig sein. Beide Grundgesamtheiten sind normalverteilt; ihre unbekannten Erwartungswerte heißen μ_X und μ_Y, ihre bekannten Standardabweichungen σ_X und σ_Y. Die Prüfgröße lautet

z = (x̄ − ȳ − μ₀)/√(σ_X²/n + σ_Y²/m).

Dabei gibt μ₀ die unter H₀ angenommene Differenz der Erwartungswerte an. Für die Prüfung auf Gleichheit wird gewöhnlich μ₀ = 0 gewählt.

Beim Zweistichproben-Gauß-Test für abhängige oder verbundene Stichproben liegen Messwertpaare (xᵢ, yᵢ) vor, beispielsweise aus Vorher-Nachher-Messungen. Aus jedem Paar wird die Differenz dᵢ = xᵢ − yᵢ gebildet. Diese Differenzen sollen aus einer normalverteilten Grundgesamtheit mit unbekanntem Erwartungswert μ und bekannter Standardabweichung σ stammen. Mit d̄ = (1/n) · ∑ᵢ₌₁ⁿ dᵢ wird der Einstichproben-Gauß-Test auf die Differenzen angewendet:

z = √n · (d̄ − μ₀)/σ.

In vielen Anwendungen wird auf eine Veränderung geprüft; dann ist μ₀ = 0.

Hypothesen und Entscheidung

Die Testrichtung bestimmt die Hypothesen und den Ablehnungsbereich. α bezeichnet das Signifikanzniveau, also die vorgegebene obere Grenze für die Wahrscheinlichkeit, H₀ abzulehnen, obwohl sie gilt. Z_p bezeichnet das p-Quantil der Standardnormalverteilung.

• Zweiseitiger Test: H₀: μ = μ₀ gegen H₁: μ ≠ μ₀. H₀ wird abgelehnt, wenn |Z| > Z_(1−α/2). Dieser Test erfasst Abweichungen in beide Richtungen.

• Rechtsseitiger Test: H₀: μ ≤ μ₀ gegen H₁: μ > μ₀. H₀ wird abgelehnt, wenn Z > Z_(1−α).

• Linksseitiger Test: H₀: μ ≥ μ₀ gegen H₁: μ < μ₀. H₀ wird abgelehnt, wenn Z < −Z_(1−α).

Für den unabhängigen Zweistichprobentest werden dieselben Regeln auf μ_X − μ_Y und den vorgegebenen Differenzwert μ₀ angewendet. Wird die Ablehnungsbedingung nicht erfüllt, bleibt H₀ bestehen; damit ist die Gegenhypothese nicht nachgewiesen.

Bei großen Stichprobenumfängen kann auf die Normalverteilungsannahme verzichtet werden. Als Faustregel nennt der Artikel n > 30. Aufgrund des Zentralen Grenzwertsatzes werden die für z benötigten Summen dann als näherungsweise normalverteilt betrachtet, sofern die übrigen Forderungen an Erwartungswerte und Standardabweichungen erfüllt sind. Der Gauß-Test liefert in diesem Fall in guter Näherung korrekte Ergebnisse.

Beispiel mit einem Blutparameter

Ein Blutparameter B ist in der Bevölkerung näherungsweise normalverteilt und besitzt die bekannte Standardabweichung σ = 2. Untersucht wird, ob das Pharmakon P seinen Erwartungswert verändert. Zwei Stichproben mit jeweils n = 22 liefern die Mittelwerte x̄ = 13,32 ohne P und ȳ = 15,36 mit P. Das Signifikanzniveau beträgt α = 0,05. Die benötigten gerundeten Quantile sind u(0,975) = 1,960, u(0,95) = 1,645 und u(0,05) = −1,645.

Zunächst wird rechtsseitig geprüft, ob der durchschnittliche Wert nach Verabreichung von P über 15 liegt: H₀: μ ≤ 15 gegen H₁: μ > 15. Es ergibt sich

z = √22 · (15,36 − 15)/2 = 0,84.

Da 0,84 < 1,645 ist, wird H₀ beibehalten. Ein durchschnittlicher B-Wert oberhalb von 15 ist damit nicht nachgewiesen.

Anschließend werden die unabhängigen Grundgesamtheiten ohne und mit P zweiseitig verglichen: H₀: μ_x − μ_y = 0 gegen H₁: μ_x ≠ μ_y. Die Rechnung ergibt

|z| = √22 · |13,32 − 15,36|/(2 · √2) = 3,38.

Weil 3,38 > 1,960 gilt, wird H₀ zugunsten von H₁ verworfen. Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 0,05 ist ein Unterschied der mittleren B-Werte nachgewiesen.

Werden dieselben Werte als verbundene Vorher-Nachher-Messungen betrachtet, beträgt die bekannte Standardabweichung der Veränderungen σ = 1,6. Geprüft wird, ob die Werte nach Gabe von P im Mittel um mehr als 1,25 höher liegen. Wegen dᵢ = xᵢ − yᵢ lautet der linksseitige Test H₀: μ ≥ −1,25 gegen H₁: μ < −1,25. Mit d̄ = −2,045 ergibt sich

z = √22 · (−2,045 + 1,25)/1,6 = −2,33.

Da −2,33 < −1,645 gilt, wird H₀ verworfen. Damit ist bei α = 0,05 nachgewiesen, dass die Werte nach der Gabe im Mittel um mehr als 1,25 über den Werten vor der Gabe liegen.