Dispersionsrelation

Grundidee und zentrale Geschwindigkeiten

Eine Dispersionsrelation beschreibt in der Physik den Zusammenhang zwischen dem zeitlichen Ablauf eines Vorgangs, etwa Frequenz oder Energie, und Größen wie Wellenzahl, Brechungsindex, Ausbreitungsgeschwindigkeit oder Impuls. Mathematisch verbindet sie die Kreisfrequenz ω mit der Kreiswellenzahl k:

ω = Ω(k).

Diese Beziehung wird aus der linearen Wellengleichung durch Fouriertransformation in Raum und Zeit gewonnen. Im einfachsten Fall gilt

ω = v_Phase · k

mit der konstanten Phasengeschwindigkeit v_Phase = ω/k. Dann besteht keine Dispersion: Alle Frequenzanteile breiten sich mit derselben Phasengeschwindigkeit aus.

Ein Wellenpaket setzt sich aus Wellen unterschiedlicher Frequenzen zusammen. Seine Geschwindigkeit ist die Gruppengeschwindigkeit

v_Gruppe = dΩ/dk,

im dreidimensionalen Fall entsprechend v⃗_Gruppe = dΩ/dk⃗. Wenn die Frequenzanteile verschiedene Phasengeschwindigkeiten besitzen, verändert sich die Form des Wellenpakets und es läuft im Allgemeinen auseinander. Wellenpakete, die trotz Dispersion aufgrund nichtlinearer Effekte ihre Form behalten, heißen Solitonen.

Licht und optische Dispersion

Für elektromagnetische Wellen in nichtleitenden Medien lautet die Dispersionsrelation

ω = k/√(με) = Ω(k),

wobei ε die Permittivität und μ die Permeabilität des Mediums sind. Die Phasengeschwindigkeit beträgt

v_Phase = ω/k = 1/√(με) = c/n(ω) = c_M.

Dabei ist c die Vakuumlichtgeschwindigkeit, c_M die Lichtgeschwindigkeit im Medium und n(ω) der im Allgemeinen komplexe, von der Kreisfrequenz abhängige Brechungsindex. Es gelten

n(ω) = √[(μ/μ₀)(ε/ε₀)] und c = 1/√(μ₀ε₀),

wobei ε₀ die elektrische und μ₀ die magnetische Feldkonstante ist.

Die Gruppengeschwindigkeit des Lichts ist

v_Gruppe = dΩ/dk = c/[n(ω) + ω · dn/dω].

Sie kann daher deutlich von der Phasengeschwindigkeit abweichen. Normale Dispersion liegt bei dn/dω > 0 vor, anomale Dispersion bei dn/dω < 0. Auch die Bänder eines photonischen Kristalls stellen eine Dispersionsrelation ω(k_z) dar; ihre Steigung gibt die zugehörige Gruppengeschwindigkeit an.

Materiewellen und Festkörper

In der Quantenphysik ist die Kreisfrequenz über ω = E/ℏ mit der Energie E verbunden. Der Wellenvektor steht über k⃗ = p⃗/ℏ mit dem Impuls p⃗ in Beziehung. Deshalb werden Energie-Impuls-Beziehungen von Teilchen auch als Dispersionsrelationen ihrer Materiewellen bezeichnet. ℏ ist die reduzierte Planck-Konstante.

Für ein freies Elektron im nichtrelativistischen Grenzfall gilt

E = p²/(2m), ℏω = ℏ²k²/(2m), ω = ℏk²/(2m) = Ω(k),

wobei m die Teilchenmasse ist. Daraus folgen

v_Phase = ω/k = ℏk/(2m)

und

v_Gruppe = dΩ/dk = ℏk/m = 2 · v_Phase.

Die Gruppengeschwindigkeit entspricht der klassischen Teilchengeschwindigkeit v = p/m. Für ein Teilchen mit minimaler Ortsunschärfe Δx führt die im Artikel angegebene Impulsunschärfe Δp = hΔv_Gruppe zusammen mit der Heisenbergschen Unschärferelation Δx · Δp ≥ h zu Δx ≥ h/(mΔv_Gruppe).

In der Festkörperphysik beschreibt Dispersion den Zusammenhang zwischen Energie beziehungsweise Kreisfrequenz und Wellenzahl eines Teilchens oder Quasiteilchens. Phononen, also Gitterschwingungen des Atomgitters, besitzen eine Phononen-Dispersionsrelation. Für Elektronen wird die Beziehung durch die Bandstruktur angegeben. In einem Kristall mit periodischem Gitter kann sie lauten:

E(k⃗) = E₀ + ℏ²k²/(2m*) = ℏω, ω = ω₀ + ℏk²/(2m*).

Dabei ist m* die effektive Masse des Elektrons.

Plasmonen sind kollektive longitudinale Schwingungen eines Plasmas. Für sie gilt

ω = √(ω_p² + c²k²),

mit der Plasmafrequenz ω_p = √(4πn_e e²/m_e). Dabei bezeichnen n_e die Elektronendichte, e die Elektronenladung und m_e die Elektronenmasse.

Wasserwellen

Für Schwerewellen auf einem Meer der endlichen Tiefe h gilt

ω = Ω(k) = √[gk tanh(kh)],

wobei g die Schwerebeschleunigung ist. Das Produkt kh entscheidet darüber, welcher Grenzfall vorliegt.

Bei Tiefwasserwellen ist kh ≫ 1 und tanh(kh) ≈ 1. Daher vereinfacht sich die Beziehung zu

ω = √(gk).

Bei Seichtwasserwellen gilt dagegen kh ≪ 1 und tanh(kh) ≈ kh. Damit folgt

ω ≈ √(gh) · k.

Diese Beziehung ist linear. Phasen- und Gruppengeschwindigkeit sind deshalb gleich und konstant:

v_Ω = ω/k = √(gh), v_g = dω/dk = √(gh).

Tsunamis verhalten sich auch in tiefen Ozeanen wie Seichtwasserwellen, weil das gesamte Wasservolumen vom Meeresboden bis zur Oberfläche bewegt wird. Auf dem offenen Meer erreichen sie Wellenlängen von 100 bis 300 km, selten bis zu 500 km. Mit k = 2π/λ liegen ihre Wellenzahlen zwischen 6,3 · 10⁻⁵ m⁻¹ und 10⁻⁵ m⁻¹. Bei einer Meerestiefe von etwa h = 5.000 m ist kh höchstens ungefähr 0,3 und damit kleiner als 1. Aus v_g = √(gh) ergibt sich bei g = 9,81 m/s² eine Geschwindigkeit von 220 m/s beziehungsweise 800 km/h. Im Gegensatz dazu bleiben bei Sturmwellen die Wasserschichten ab etwa 200 m Tiefe unbewegt.

Wird zusätzlich die Oberflächenspannung berücksichtigt, lautet die Dispersionsrelation für Schwere- und Kapillarwellen

ω = √(gk + σk³/ρ).

σ ist die Oberflächenspannung und ρ die Wasserdichte. Unter gleichzeitiger Berücksichtigung von Oberflächenspannung und endlicher Tiefe gilt

ω = √[(gk + σk³/ρ) tanh(kh)].

Elastische Wellen, Stäbe, Saiten und Schall

In einem isotropen Festkörper, dessen Eigenschaften in allen Richtungen gleich sind, treten zwei Arten elastischer Wellen auf:

• Longitudinal- oder P-Wellen schwingen in Ausbreitungsrichtung. Für sie gilt ω = c_Lk mit c_L = √[(λ + 2μ)/ρ] = √[(K + 4μ/3)/ρ].

• Transversal- oder S-Wellen schwingen quer zur Ausbreitungsrichtung. Für sie gilt ω = c_Tk mit c_T = √(μ/ρ).

λ und μ sind die Lamé-Konstanten; K = λ + 2μ/3 ist der Kompressionsmodul und ρ die Dichte. Beide Beziehungen sind linear.

Bei Biegewellen, die sich in einem dünnen Stab in z-Richtung ausbreiten und transversal in x-Richtung schwingen, gilt dagegen

ω = βk² mit β = √[EI_y/(ρA)].

E ist der Elastizitätsmodul, I_y das axiale Flächenträgheitsmoment und A die Querschnittsfläche. Die Frequenz ist hier proportional zum Quadrat des Wellenvektors, während sie in einem unbegrenzten Medium linear davon abhängt.

Für Querwellen in einem gespannten Draht oder einer Saite wird die Beziehung

ω = k√(σ/ρ)

angegeben, wobei σ die Drahtspannung ist. Torsionswellen, also Verdrehungsschwingungen eines zylindrischen Stabes, folgen

ω = k√(G/ρ) = k√(μ/ρ),

wobei G der Schubmodul beziehungsweise μ die zweite Lamé-Konstante ist.

Auch hörbare Schallwellen sind ein Beispiel für dispersionsfreie Wellen, weil ihre Dispersionsrelation linear ist:

ω = k√(γp/ρ).

Dabei sind p der Gasdruck, ρ die Dichte und γ der Adiabatenexponent. Weil ω proportional zu k ist, sind Phasen- und Gruppengeschwindigkeit in diesem Modell konstant.