Laplace-Formel

Grundidee und Formel

Die Laplace-Formel gehört zur elementaren Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie gilt für Zufallsexperimente mit endlich vielen Elementarereignissen, wenn alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Ein Elementarereignis ist ein einzelnes mögliches Ergebnis eines Zufallsexperiments; ein Ereignis A ist eine Menge solcher Ergebnisse.

Unter diesen Voraussetzungen berechnet man die Wahrscheinlichkeit P(A) eines Ereignisses A als Anteil der günstigen Ergebnisse an allen möglichen Ergebnissen:

P(A) = (Anzahl der Ergebnisse, bei denen das Ereignis A eintritt) / (Anzahl aller möglichen Ergebnisse).

Formell lautet die Formel: P(A)=|A|/|Ω|. Dabei bezeichnet |A| die Anzahl der Elemente des Ereignisses A und |Ω| die Anzahl der Elemente der Ergebnismenge Ω. Die Formel ist nach Pierre Simon Laplace (1749–1827) benannt.

Typische Laplace-Situationen

Beim Roulette wird eine der 37 Zahlen 0 bis 36 ausgespielt. Wenn durch die Beschaffenheit des Roulette-Tellers und die Vorgehensweise gewährleistet ist, dass die Kugel mit derselben Wahrscheinlichkeit auf jeder Zahl liegen bleibt, dann hat jede Zahl die Wahrscheinlichkeit p = 1/37.

Beim einfachen zufälligen Ziehen aus einer Urne mit n gleichartigen, nicht unterscheidbaren Kugeln wird jede Kugel mit der Wahrscheinlichkeit p = 1/n gezogen. Auch hier ist die Laplace-Formel anwendbar, weil alle möglichen Einzelergebnisse gleich wahrscheinlich sind.

Doppelwurf eines Würfels

Beim zweimaligen Werfen eines Spielwürfels gibt es 36 mögliche Ergebnisse für die Augenzahlkombinationen. Die Ergebnismenge ist Ω = {(i,j) | i,j = 1,…,6}. Jedes Ergebnis beschreibt die Augenzahl des ersten und des zweiten Wurfs.

Ist der Würfel ein Laplace-Würfel, dann sind die 36 geordneten Paare gleich wahrscheinlich. Für die Augensumme 9 gibt es vier günstige Ergebnisse: (6,3), (5,4), (4,5), (3,6). Daher gilt für das Ereignis A „Augensumme 9“: P(A)=4/36=1/9.

Grenzen der Gleichwahrscheinlichkeit

Auch wenn ein Spielwürfel ein Laplace-Würfel ist, sind nicht automatisch alle abgeleiteten Ereignisse gleich wahrscheinlich. Beim Doppelwurf sind die elf möglichen Augensummen 2 bis 12 nicht gleich wahrscheinlich. Zum Beispiel entsteht die Summe 2 nur durch (1,1), während die Summe 7 durch mehrere Kombinationen entstehen kann.

Der Artikel zeigt außerdem, dass es bei diesem Experiment unmöglich ist, durch Würfelmanipulation gleichwahrscheinliche Augensummen 2 bis 12 zu erreichen. Der Beweis erfolgt durch Widerspruch: Wenn alle elf Augensummen gleich wahrscheinlich wären, müsste jede Wahrscheinlichkeit 1/11 betragen. Mit p_i als Wahrscheinlichkeit für Augenzahl i beim ersten Würfel und q_i beim zweiten Würfel ergibt sich für die Summe 7 eine Ungleichung, die auf q_6/q_1 + q_1/q_6 ≤ 1 führt. Das widerspricht der Tatsache, dass für alle reellen x > 0 gilt: x + 1/x ≥ 2. Damit können die Augensummen 2 bis 12 niemals alle gleich wahrscheinlich sein.

Vorsicht bei Modellannahmen

Nicht jedes scheinbar symmetrische Zufallsexperiment ist wirklich ein Laplace-Experiment. Beim Geschlecht eines neugeborenen Kindes ist statistisch nachgewiesen, dass Knaben- und Mädchengeburten nur annähernd gleich wahrscheinlich sind. In vielen stochastischen Aufgabenstellungen wird trotzdem Gleichwahrscheinlichkeit angenommen, aber dies ist eine Modellannahme und keine exakte Tatsache.