Das Video kommt von YouTube: erst beim Abspielen verbindet sich die Seite mit YouTube (Google).
Cramersche Regel | Lineare Gleichungssysteme (LGS) eindeutig lösen + Beispiele 2x2 und 3x3 Matrix
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 85 Zeilen
- mit der regel von cramer lassen sich lineare gleichungen systeme lösen die eine eindeutige lösung besitzen es war braucht man bei der regel von cramer
- mehr rechenoperationen als noch beim gas algorithmus dafür lassen sich aber einzelne lösungen direkt berechnen also sagen wir zum beispiel du hast ein
- system mit 1000 variablen dann könntest du zum beispiel wenn du möchtest direkt die 137 die lösung ausrechnen unabhängig von den anderen in der regel von cramer
- funktioniert dass er gleich direkt an zwei beispielen los geht's ich bin mit peter und in diesem video geht es um die regel von kramer mit
- hilfe der kramer schon regel lassen sich alle lösungen von so einem linearen gleich ums system direkt berechnen unabhängig von allen anderen lösungen
- das einzige was du dafür brauchst sind zwei determinanten zum einen die determinante der koeffizienten matrix und zum anderen die determinante von
- seiner matrix das ist die matrix die entsteht wenn du den b vector diese rechte seite hier in die ethisch bald von dieser koeffizienten matrix
- einträgst das bedeutet vor allem auch dass dieses gleichung system quadratisch sein muss das heißt dass es genauso viele zeilen wie spalten in der
- koeffizient matrix gibt oder anders gesagt dass es genauso viele gleichungen die variablen gibt denn ansonsten würde so etwas wie eine determinante nicht
- existieren zum anderen bedeutet das aber auch dass dieses lineare gleichungen system eindeutig lösbar sein muss denn wäre es nicht eindeutig lösbar wäre die
- determinante der koeffizienten matrix gleich null und dann müssten wir hierdurch 0 teilen und da wissen wir das funktioniert nicht also nur bei
- quadratischen systemen die eindeutig lösbar sind kannst du die regel von cramer verwenden fangen wir erstmal ganz entspannt mit einem systeme an dass zwei
- variablen hat meine empfehlung ist dass du dieses gleichnis system erst einmal in matrix vector form umschreibt einfach für die übersichtlichkeit das heißt was
- du machen kannst ist alle vor faktoren von diese nixon also alle koeffizienten in so eine koeffizienten matrix ein packst das ganze mal dem rektor x1 x2
- und auf der rechten seite steht der vector 74 ist das immer noch genau dasselbe wenn du aus multipliziert das mal dem plus darf mal dem gleich sieben
- und das mal dem fluss das mal dem gleich vier funktioniert diese matrix ihren das ist unsere koeffizienten matrix und meine empfehlung ist dass du jetzt alle
- erstmal die determinante dieser matrix bestimmt denn da gibt es zwei möglichkeiten entweder ist die determinante gleich null dann können wir
- nicht mit der regel von cramer arbeiten weil das gleiche system eben nicht genau eine lösung hat oder möglichkeit zwei die determinante ist nicht nur dann
- können wir zum einen weiter rechnen und zum anderen auch gleich die determinante noch verwenden für die lösung also schritt noch mal eins sollte hier an
- dieser stelle immer seien die determinante dieser matrix zu berechnen es geht doch zum glück zum nicht einfach weil 2 x 2 eintritte wir müssen nur über
- kreuz multiplizieren das mal dem - das mal dem also 18 - das mal dem ist mit 20 alles klar die determinante ist - 2 und damit ist sie
- nicht nur wir wissen dieses gleichnis system hat genau eine lösung und wir können diese determinante von -2 für die lösung verwenden laut der regel von
- cramer berechnet sich jetzt x1 durch den bruch von zwei determinanten unten im nenner da können wir einfach die determinante von arch x eintragen
- was er gerade überprüft haben oben im zähler da wird's noch mal spannend da steht jetzt die determinante von folgender matic wir nehmen die
- koeffizienten matrix nur aber tragen wir in der ersten spalte aber wenn das die erste lösung ist dann in der ersten spalte den b vectoring also für x1
- tragen wir das 74 in der ersten spalte 1 für x2 tragen wie das 74 in der zweiten spalte eine das einzige was wir merken muss also 74 wird jetzt in der ersten
- spalte stehen und alle anderen spalten der matrix die bleiben unverändert einfach stehen und jetzt wieder über kreuz multipliziert
- sie mal 2 14 - 40 15 achtung das ist ne - 20 - -20 wird gleich zu einer plus 20 und das heißt 14.20 sind wir bei 34 geteilt
- durch - 2 also x1 und gleich 17 das gleiche spiel können wir jetzt auch noch mit x2 machen da haben wir wieder unten im jänner eine -2 also sehr praktisch
- dass wir die determinanten ausgerichtet haben und oben im 10 da steht die determinante von dieser matrix hier nur wie gesagt muss der b vector jetzt in
- der zweiten spalte eingetragen werden also die erste spalte wird unverändert übernommen und in der zweiten spalte steht dieser bei vector
- 74 so und jetzt können auch hier wieder über kreuz multiplizieren 9 x 4 ist eine 36 - - 4 x 7 das ist eine -28 8 - - das wird wieder gleich zu
- einem plus ok 36 plus 28 950 bei 60 bei 64 geteilt - zwei gleich - 32 und damit haben wir dieses gleich ums system eindeutig gelöst so guter letzt doch das
- beispiel einer drei mal drei matrix hier kann ich dir auf jeden fall schon mal verraten dass du enorme vorteile mit der regel von cramer hast wenn der b vector
- so ein einheits sektor ist sowas wie 00 10 10 oder 100 das wirst du gleich sehen wenn du diesen sektor in die koeffizienten matrix einträgt dann
- lassen sich nämlich die determinanten unglaublich einfach mit dem der plastische entwicklung satz bestimmen okay aber zuallererst mal wollen wir
- wieder dieses lineare gleichungen system in die matrix vector formen das heißt zuerst mal schreiben wir alle koeffizienten also alle vier faktoren
- von diesen xl in eine matrix heim die sogenannte koeffizienten matrix das ganze wird mit dem x-factor multipliziert und er gibt auf der
- anderen seite diesen b vector nun 1 und wir haben gesagt das erste was du rechnerisch machen solltest ist die determinante dieser koeffizienten matrix
- zu bestimmen denn entweder ist sie gleich null dann können wir sowieso nicht mit der regel von karma arbeiten oder sie ist nicht nur dann können wir
- das ergebnis auch gleich für die einzelnen lösungen verwenden ok los geht's wir brauchen die determinante von dieser matrix ihren
- an dieser stelle hast du mehrere möglichkeiten meine empfehlung ist bei einer voll besetzten matrix also wenn er nicht eine
- einzige 0 drin vorkommt ganz einfach mit der regel von zurückzuarbeiten du kannst aber auch ganz einfach mit dem ablassen entwicklungsarbeiten der ist allgemein
- gültiger für die regel von ca schreibt einfach die ersten beiden spalten nochmal neben diese matrix als kleine gedächtnisstütze
- du kannst es aber auch gerne im kopf behalten und im kopf ausrechnen gar kein problem jetzt multipliziere einfach von links oben nach rechts unten diese
- diagonal zweimal - fünf mal sieben das sind minus 35 mit 2 - 70 dann diese diagonale das ist zwölfmal -
- 11 - 12 und diese diagonale das ist eine - einst und jetzt zieht das produkt von diesen diagonalen ab die von links unten nach
- rechts oben gehen oder anders gesagt bilder einfach das produkt und schreibe diese produkte mit geänderten vorzeichen auf bedeutet ja abziehen anderen
- vorzeichen das mal dem all dem ist eine - 5 ok ich soll - fünf abziehen also plus finden geändert das vorzeichen das x t x dem ist eine 8 gb - 8 das mal dem
- all dem ist eine 21 okay also eine - 21 und jetzt müssen wir die ganze nur noch zusammenfassen und vielleicht kriegen das auch irgendwie schlau hin zum
- beispiel hier - 8 minus 21 minus 29 und das hier ist man bei -30 zusammen mit dem sie schon mal bei einer - 100 das passt ganz gut - 100 und die beiden
- zusammen ergeben eine -7 ok - 107 sind - 107 und diese determinante ist ganz offensichtlich nicht nur das bedeutet wir können direkt mit der regel von
- cramer weiter machen das heißt wir können die lösungen für x1 23 alle der reihe nach bestimmt fangen wir an mit x1 geteilt wird immer durch die
- determinante der ja dieser koeffizient matrix das ist bei uns die - 107 und oben im zähler das ist wichtig um den grachten steht die determinante von
- derselben matrix nur aber das jetzt in der ersten spalte also bei uns in der ersten spalte für x1 der b vector eingetragen werden muss also in der
- ersten spalte steht der b vector 001 und der rest von dieser koeffizienten matrix bleibt unverändert stehen 35 1
- -1 47 sondern dieser stelle kannst du jetzt richtig schön rum tricksen weil du so einen einheits vector hier drin stehen hast aufgrund dieser ganzen
- nullen empfehle ich mit dem la plastischen entwicklungs satz zu arbeiten weil du damit noch schneller an die determinanten ankommst der plastisch
- entwicklungs satz gesagt sucht eine teil oder spalte aus nach der nun entwickeln möchte ist vorzugsweise die mit den meisten 0
- und ergänzte hier so einen vorzeichen stehen also ein schachbrettmuster aus plus und minus es beginnt immer links oben mit einem plus ja und dann neben
- jedem plus ein - neben jedem - ein plus wie am schachbrett na wo neben einem weißen feld ein schwarzes ist neben schwarz und weiß es und so weiter
- plusminus plus das heißt wir haben hier plus einmal die determinante von und darum geht es mir eigentlich dieser zweimal zwei matrix also das heißt
- aufgrund dieses einfachen eines lektors reduziert sich der aufwand daraufhin determinante hiervon zu berechnen 3 x 4 ist mit 12
- - - fünfmal -1 ist eine 5 also es lässt sich tatsächlich ziemlich einfach diese determinante ausrechnet und das ergibt dann insgesamt - 7 geteilt durch ein 107
- das lässt sich auch nicht weiter kürzen denn siemens eine primzahl und ist kein faktor von 104 x2 machen wir genau das gleiche
- spielen wir erstmal bruch auf wobei unten im jänner wieder die - 107 steht und oben im zähler ganz wichtig da schreiben wir
- jetzt die erste und dritte spalte von der koeffizienten matrix ab und ersetzen lediglich die zweite spalte durch diesen b vector na ja genau das
- war die bedeutung von diesem in der ersten spalte also hier in der zweiten spalte tragen wir diesen sektor ein perfekt auch hier können wir wieder mit
- dem la klaas und entwicklungsarbeiten nur achtung das vorzeichen china besagt plus - plus - alles klar das ist eine 1 - das heißt es muss noch das vorzeichen
- geändert werden ja sehr wichtig dass du darauf achtet wir haben also - einmal der determinante von schreiben dass ich noch einmal so ausführlich auf von allen
- werten die über bleiben wenn du diese spalte und diese zeile zu hetzen das element nachdem er gerade entwickeln davon alles in der selben spalt ins
- seite zu halten dann bleiben noch vier werte über 21 - 14 ein klein bisschen übung hast dann kannst du das auch im kopf machen
- wirst du sehen ok vorzeichen wird geändert weil die einst eben hier unten steht und du brauchst du noch die determinante von diesen vier zahlen dann
- wirst du sofort rechnen zwei mal vier ist eine 8 hier ist eine art - die produkt von dieser diagonale 1 - 1 - -1 wird gleich
- wieder zu einer +1 das bedeutet wir haben hier als zweite lösung - 9 geteilt durch ein 107 und das ganze können wir auch schlussendlich noch für x3 machen
- ich habe das mal hierhin x3 hat auch unten im jänner eine minus 107 immer die determinante von dieser koeffizient matrix und oben in zähler da
- steht ihr determinante von na ja schreiben wir diese matrix ab 2 1 - 1 3 - 5 1 und in der dritten spalte als auch x3 ist das fragen wir jetzt diesen b
- vector 0 0 1 1 und auch hier wieder empfehle ich mit dem japanischen entwicklungsarbeiten da wirst du auch wieder mit dem schachbrettmuster aus
- plus und minus aufkommen dass im plus steht und es ist lediglich erforderlich einmal so plus einmal die determinanten dieser zweimal zwei matrix auszurechnen
- also von diesen vier zahlen hier das heißt wir haben - 10 - drei geteilt durch - 107 das ergibt gerade - oder achtung - mit wird damit
- zu einem plus 13 geteilt durch ein 107 und damit ist auch dieses gleichnis system gelöst x1 gleich - 7 107 62 gleich - 9/100 63 gleich 13 107 so
- einfach funktioniert das ganze mit der regie von kramer viel spaß damit und bis zum nächsten mal ich hoffe das video hat er gerade gefallen wenn du dich
- demnächst auf einer matte prüfung vorbereiten muss dann schaue unbedingt mal unter diesem video nach ich habe dort mehrere von meinen online kursen
- verlinkt die sich bestmöglich auf den mathe prüfungen vorbereiten wenn ihr das video weitergeholfen hat und du mich in zukunft unterstützen möchtest dann
- erzählt einfach seinen kommilitonen deinen freunden und seiner familie von mir und abonniert den kanal danke dir
Zum Nachlesen
Cramersche RegelDie Cramersche Regel oder Determinantenmethode ist eine mathematische Formel für die Lösung eines linearen Gleichungssystems. Sie ist bei der theoretischen …
DeterminanteMit Hilfe von Determinanten kann man beispielsweise feststellen, ob ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, und kann die Lösung mit Hilfe der …
Regel von SarrusIn der linearen Algebra ist die Regel von Sarrus (auch sarrussche Regel oder Jägerzaun-Regel) ein Verfahren, mit dem die Determinante einer 3 × 3 …
MathematikAn deutschen Universitäten gehört die Mathematik meistens zur selben Fakultät wie die Naturwissenschaften, und so wird Mathematikern nach der Promotion in der …