Band (Mathematik)

Grundidee und Definition

In der Differentialgeometrie ist ein Band die Verbindung aus einer glatten Kurve und einem zugehörigen Normalvektor. Es wird formal als (X,U) beschrieben. Dabei ist X eine Kurve im dreidimensionalen Raum, gegeben durch den Vektor X(s). Der Parameter s ist die Bogenlänge der Kurve mit a ≤ s ≤ b.

Zu dieser Kurve gehört ein Einheitsvektor U(s). Ein Einheitsvektor hat die Länge 1. Der Vektor U(s) steht an jeder Stelle orthogonal, also senkrecht, zu ∂X/∂s(s), der Ableitung der Kurve nach der Bogenlänge. Anschaulich beschreibt X die Achse des Bandes, während U angibt, in welche Normalrichtung das Band an jeder Stelle zeigt.

Bänder sind wichtig, weil sie geometrische und topologische Eigenschaften von verdrehten Strukturen beschreiben können. Anwendungen werden unter anderem im Zusammenhang mit DNA genannt.

Einfache geschlossene Bänder

Ein Band (X,U) heißt einfach, wenn X eine geschlossene Jordan-Kurve ist und U sowie alle Ableitungen von U an den Stellen a und b übereinstimmen. Eine geschlossene Jordan-Kurve ist eine geschlossene Kurve ohne Selbstschnitt.

Für ein solches einfaches, geschlossenes Band gilt: Die Kurven X + εU, parametrisiert durch X(s) + εU(s), sind für alle genügend kleinen positiven ε ebenfalls einfache, geschlossene Kurven. Außerdem sind sie disjunkt von X, schneiden die ursprüngliche Kurve also nicht.

Formel von Călugăreanu

Bänder spielen eine wichtige Rolle in der Formel von Călugăreanu. Diese lautet:

Lk = Wr + Tw

Dabei bezeichnet Lk die asymptotische Verschlingungszahl. Sie gibt die ganze Anzahl an Drehungen des Bandes um seine eigene Achse an. Wr bezeichnet die totale Anzahl an Verwringungen, vereinfacht auch Drall genannt. Diese Größe misst die Nicht-Planarität der Achsenkurve des Bandes, also wie stark die Achse räumlich statt eben verläuft. Tw ist die totale Anzahl der Drehungen und beschreibt die Rotationsrate des Bandes um seine eigene Achse.

Bedeutung der Bandtheorie

Die Bandtheorie untersucht geometrische und topologische Aspekte von Bändern. Topologie befasst sich dabei mit Eigenschaften, die bei stetiger Verformung erhalten bleiben, etwa Verschlingung oder Verdrillung.

Der Artikel nennt als Anwendungsbereiche biologische und physische Eigenschaften, darunter topologische Strömungsdynamik, DNA und Materialwissenschaft.