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Ampler Divisor

Die amplen Divisoren zeigen, ob die durch Polynome beschriebenen algebraische Kurven auf einen projektiven Raum abgebildet werden können. Inhaltsverzeichnis. 1 …

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Inhalt3 Abschnitte
  1. 1. Bedeutung ampler Divisoren
  2. 2. Definition
  3. 3. Typische Beispiele

Bedeutung ampler Divisoren

Ein amples Divisor ist ein Begriff der algebraischen Geometrie, also des Gebiets, das Gleichungen der abstrakten Algebra mit Geometrie verbindet. Divisoren beschreiben Nullstellen algebraischer Kurven. Vereinfacht hängt die Ampleness damit zusammen, dass zugehörige Basisfunktionen keine gemeinsame Nullstelle besitzen.

Ample Divisoren sind wichtig, weil sie anzeigen, ob eine durch Polynome beschriebene algebraische Kurve in einen projektiven Raum abgebildet werden kann. Ein projektiver Raum verwendet homogene Koordinaten wie [0:1; und identifiziert dabei proportionale Koordinatentupel.

Definition

Sei D ein Divisor auf einer algebraischen Kurve C. Der Vektorraum H⁰(C, O(D)) besteht aus den rationalen Funktionen f auf C, deren Hauptdivisor (f) die Ungleichung (f) ≥ −D erfüllt.

D heißt sehr ampel, wenn es eine Basis f₀, …, fₙ₋₁ von H⁰(C, O(D)) gibt, deren Funktionen auf C keine gemeinsame Nullstelle haben, und wenn die dadurch gegebene Abbildung

φ_D: C → Pⁿ⁻¹, P ↦ [f₀(P): … :fₙ₋₁(P)]

eine Einbettung in den projektiven Raum ist. Eine Einbettung stellt die Kurve dort als geometrisches Objekt ohne die für die Beschreibung relevante Information zu verlieren dar.

D heißt ampel, wenn es eine natürliche Zahl l ∈ ℕ gibt, sodass lD sehr ampel ist.

Typische Beispiele

Für die projektive Gerade C = P¹ und D = 2[0:1] darf eine rationale Funktion f mit (f) ≥ −D nur bei [0:1] eine Polstelle haben, dort höchstens vom Grad 2. Sie hat dann die Form f = p/x₀², wobei p ein homogenes Polynom vom Grad 2 ist. Eine mögliche Basis ist

f₀ = 1, f₁ = x₁/x₀, f₂ = x₁²/x₀².

Die zugehörige Abbildung bettet P¹ als abgeschlossene Parabel in P² ein. Daher ist D sehr ampel.

Schneidet eine elliptische Kurve in P² eine projektive Gerade in drei Punkten P₁, P₂, P₃, so ist D := P₁ + P₂ + P₃ sehr ampel. Auch der kanonische Divisor einer algebraischen Kurve mit Geschlecht g ≥ 2 ist sehr ampel, sofern die Kurve nicht hyperelliptisch ist.

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