1 + 1 = 2

Bedeutung der Gleichung

Die mathematische Gleichung 1 + 1 = 2 steht oft stellvertretend für eine Aussage, die trivial oder selbstverständlich wirkt. Der Artikel zeigt jedoch, dass auch eine so einfache Rechnung in Philosophie und Mathematik unterschiedlich begründet und streng hergeleitet werden kann.

Philosophische Einordnung

In der Philosophie der Mathematik und in der Erkenntnistheorie dienen arithmetische Formeln als Beispiele für Aussagen, die entweder offensichtlich sind oder nur offensichtlich erscheinen und deshalb eine tiefere Begründung verlangen.

Immanuel Kant zählt 7 + 5 = 12 zu den synthetischen Urteilen a priori: Urteilen, die ohne Erfahrung gefällt werden und aufgrund der Zerlegung der Einzelbegriffe wahr sind. René Descartes nennt Aussagen wie 2 + 3 = 5 im Rahmen seines methodischen Zweifelns zwar unabhängig vom kognitiven Zustand wahr erscheinend; selbst sie könnten aber durch einen bösen Dämon täuschend vorgetäuscht sein. David Hume bezeichnet arithmetische Aussagen als Verhältnisse zwischen Ideen (relations of ideas), die deduktiv gewonnen werden können. Damit unterscheidet er sie von matters of facts, die dem Induktionsproblem unterliegen.

Herleitung mit natürlichen Zahlen

Spätestens Ende des 19. Jahrhunderts bemühte man sich auch in der Mathematik um eine genauere Begründung, unter anderem mit Richard Dedekinds Schrift „Was sind und was sollen Zahlen?“. Nach den bis heute gebräuchlichen Peano-Axiomen wird 1 als Nachfolger der 0 und 2 als Nachfolger der 1 definiert. Aus den Axiomen der natürlichen Zahlen lässt sich 1 + 1 = 2 dann in einem strengen Kalkül herleiten.

Beweis in der Principia Mathematica

Bertrand Russell und Alfred North Whitehead beweisen 1 + 1 = 2 in ihrer Principia Mathematica auf Seite 379, nachdem die arithmetische Notation definiert wurde. Die Definition und der Beweis werden erst auf Seite 86 des zweiten Teils beendet. Der abschließende Kommentar lautet: „Der Satz [1+1=2] ist ab und zu nützlich. Es wird mindestens drei Mal benutzt.“

Die Länge des Beweises wird einerseits so gedeutet, dass auch scheinbar einfache Aussagen einen Beweis benötigen. Andererseits dient sie als Kritik an mathematischer Strenge. Als Grund für die Länge nennt der Artikel, dass ab dem 20. Jahrhundert nicht mehr die Arithmetik, sondern die Mengenlehre als Grundlage der Mathematik genommen wird.