Geometrie in der Ebene
Raute: Fläche, Umfang und Diagonalen
Wie berechnest du Diagonalen, Fläche und Umfang einer Raute – und wie verändert der Innenwinkel die Fläche?
Ergebnis
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Rechenweg
Rechne jeden Schritt selbst und deck ihn dann auf – erst dann kommt der nächste. Das Ergebnis oben ist verschwommen, bis du darauf tippst.
So rechnest du selbst
A = \frac{e \cdot f}{2} = a^2 \cdot \sin\alpha
- 1Die Diagonalen halbieren sich und stehen senkrecht aufeinander – so entstehen vier gleiche rechtwinklige Dreiecke.
- 2Aus Seite und Winkel: e = 2a \cdot \cos\frac{\alpha}{2} und f = 2a \cdot \sin\frac{\alpha}{2}.
- 3Aus den Diagonalen: a = \sqrt{\left(\frac{e}{2}\right)^2 + \left(\frac{f}{2}\right)^2} (Pythagoras).
- 4Fläche A = \frac{e \cdot f}{2} (oder a^2 \cdot \sin\alpha), Umfang U = 4a.
Typische Fehler
- Nicht halbiert: e \cdot f = 8 \cdot 6 = 48 ist das umgebende Rechteck. Die Raute ist nur halb so groß: A = 24 cm².
- Ganze statt halbe Diagonalen bei Pythagoras: \sqrt{8^2 + 6^2} = 10 ist falsch. Richtig: a = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 cm.
- Fläche wie beim Quadrat: a^2 = 25 cm² stimmt nur bei 90^\circ. Bei \alpha = 60^\circ sind es 25 \cdot \sin 60^\circ \approx 21{,}65 cm².