Mathematik · Klasse 5–7 · aktualisiert
Flächeninhalt einer Raute berechnen: Formeln
Eine Raute hat zwei Flächenformeln: Seite mal Höhe oder Diagonalen mal Diagonale durch 2. Du lernst, die passende zu wählen und sicher zu rechnen.
0 von 9 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Den Flächeninhalt einer Raute berechnest du mit A = a \cdot h, wenn Seite und zugehörige Höhe gegeben sind, oder mit A = \frac{e \cdot f}{2}, wenn du die Diagonalen kennst. Bei e = 4\,\text{cm} und f = 6\,\text{cm} ist A = 12\,\text{cm}^2.
Den Flächeninhalt einer Raute kannst du auf zwei einfachen Wegen berechnen: mit Grundseite und zugehöriger Höhe oder mit den beiden Diagonalen. Welche Formel passt, hängt von den gegebenen Längen ab.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. Für ihren Flächeninhalt A gibt es zwei wichtige Formeln. Die Höhe ist der senkrechte Abstand zwischen zwei parallelen Seiten. Sie ist nicht automatisch so lang wie eine Seite. Die Diagonalen verbinden jeweils zwei gegenüberliegende Ecken. Bei einer Raute stehen sie senkrecht aufeinander und halbieren sich gegenseitig.
| Gegeben | Passende Formel |
|---|---|
| Seitenlänge a und zugehörige Höhe h | A = a \cdot h |
| Diagonalen e und f | A = \frac{e \cdot f}{2} |
Merke: Wähle die Formel nach den gegebenen Größen: Seite und Höhe werden multipliziert; das Produkt der Diagonalen wird halbiert.
Teste dich
Warum gilt A = a \cdot h? Du kannst an einer Seite der Raute ein Dreieck abschneiden und an der gegenüberliegenden Seite anfügen. Dadurch entsteht ein flächengleiches Rechteck. Es hat die Länge a und die Breite h.
Definition
Zugehörige Höhe
Die zu einer Seite a gehörige Höhe h steht senkrecht auf a. Sie misst den kürzesten Abstand zur parallelen Gegenseite.
Beispiel: Raute mit a = 3\,\text{cm} und h = 2\,\text{cm}
- 1Formel: A = a \cdot h
- 2Einsetzen: A = 3\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm}
- 3Ergebnis: A = 6\,\text{cm}^2
Teste dich
Die Diagonalen e und f teilen die Raute in vier rechtwinklige Dreiecke. Durch Verschieben zweier Dreiecke entsteht ein flächengleiches Rechteck mit den Seitenlängen e und \frac{f}{2}. Deshalb gilt: A = e \cdot \frac{f}{2} = \frac{e \cdot f}{2}
Beispiel: Raute mit e = 4\,\text{cm} und f = 6\,\text{cm}
- 1Formel: A = \frac{e \cdot f}{2}
- 2Einsetzen: A = \frac{4\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm}}{2}
- 3Produkt halbieren: A = 12\,\text{cm}^2
Merke: Das Produkt e \cdot f ist doppelt so groß wie die Fläche der Raute. Deshalb musst du durch 2 teilen.
Teste dich
Bevor du Längen multiplizierst, müssen sie in derselben Einheit angegeben sein. Aus zwei Längen entsteht beim Multiplizieren eine Flächeneinheit: 3\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 6\,\text{cm}^2. Die Angabe 6\,\text{cm} wäre falsch, weil sie eine Länge bezeichnet. Typische Fehler sind: die Seitenlänge mit der Höhe verwechseln, bei der Diagonalenformel das Halbieren vergessen, verschiedene Längeneinheiten ohne Umrechnung einsetzen und eine Längeneinheit statt einer Flächeneinheit angeben.
| Längen in | Flächeninhalt in |
|---|---|
| Millimeter | \text{mm}^2 |
| Zentimeter | \text{cm}^2 |
| Meter | \text{m}^2 |
| Kilometer | \text{km}^2 |
Beispiel: Raute mit e = 5\,\text{cm}, die zweite Diagonale ist doppelt so lang
- 1Fehlende Diagonale: f = 2 \cdot 5\,\text{cm} = 10\,\text{cm}
- 2Beide Diagonalen bekannt, also passt die Diagonalenformel.
- 3A = \frac{5\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm}}{2} = 25\,\text{cm}^2
Teste dich
Alles auf einen Blick
Flächeninhalt Raute
Seite und Höhe
A = a \cdot h
Diagonalen
A = \frac{e \cdot f}{2}
Formelwahl
nach den gegebenen Größen
Einheiten
vorher gleiche Längeneinheit herstellen
Ergebnis
immer in einer Flächeneinheit
Kontrolle
Halbierung und Plausibilität prüfen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Wie groß ist eine rautenförmige Fliese mit den Diagonalen 24 cm und 1,6 dm?
- 1Einheiten angleichen: 1,6 dm = 16 cm
- 2Formel: A = \frac{e \cdot f}{2}
- 3Einsetzen: A = \frac{24\,\text{cm} \cdot 16\,\text{cm}}{2}
- 4Multiplizieren: 24 cm · 16 cm = 384 cm²
- 5Halbieren: 384 cm² : 2 = 192 cm²
Fehler finden
Raute mit e = 6\,\text{cm} und f = 8\,\text{cm} In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Das Produkt 6\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 48\,\text{cm}^2 wurde nicht halbiert. Richtig: A = 48\,\text{cm}^2 : 2 = 24\,\text{cm}^2.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Für a = 40\,\text{mm} und h = 3\,\text{cm} wandelst du zuerst 40 mm in um. Dann rechnest du mit der Formel . Das Ergebnis lautet .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback