Mathematik · Klasse 7 · aktualisiert
Raute: Eigenschaften, Umfang und Flächeninhalt
Eine Raute hat vier gleich lange Seiten. Du lernst ihre Eigenschaften, Umfang und Fläche und wie du sie von Quadrat und Drachen unterscheidest.
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Kurz gesagt
Eine Raute (Rhombus) ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. Ihre Diagonalen e und f stehen senkrecht aufeinander und halbieren sich. Den Umfang berechnest du mit U=4a, den Flächeninhalt mit A=\frac{e\cdot f}{2}, zum Beispiel \frac{12\cdot 8}{2}\,\mathrm{cm}^2=48\,\mathrm{cm}^2.
Eine Raute, auch Rhombus genannt, ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. Du erkennst sie sicher an dieser Seiteneigenschaft – nicht daran, dass sie „schief“ oder auf die Spitze gestellt aussieht. Auf dieser Seite lernst du, die Eigenschaften einer Raute zu erklären, Umfang und Flächeninhalt zu berechnen und sie von ähnlichen Vierecken abzugrenzen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Vier gleich lange Seiten sind das entscheidende Merkmal, die Lage der Figur spielt keine Rolle. Auch ein Quadrat ist eine Raute, weil es vier gleich lange Seiten hat. Zwei Paare gleich langer Nachbarseiten genügen dagegen nicht: Eine solche Figur kann ein Drachenviereck sein. Bezeichne die Ecken der Reihe nach mit A, B, C und D. Alle Seiten haben die Länge a, die Diagonalen heißen meist e und f. Für jede Raute gilt: Gegenüberliegende Seiten sind parallel, gegenüberliegende Winkel sind gleich groß, und zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen 180^\circ. Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander, halbieren einander und halbieren die Innenwinkel. Beide Diagonalen sind Symmetrieachsen. Sie zerlegen die Raute in vier kongruente rechtwinklige Dreiecke, also Dreiecke mit gleicher Form und Größe.
Definition
Raute
Eine Raute ist ein Viereck, dessen vier Seiten gleich lang sind. Rhombus ist eine andere Bezeichnung für dieselbe Figur.
Beispiel: Raute oder nicht?
- 1Seiten 5 cm, 5 cm, 5 cm und 5 cm: alle gleich lang, also eine Raute.
- 2Seiten 4 cm, 4 cm, 6 cm und 6 cm: nicht alle gleich lang, also keine Raute.
Merke: Bei einer Raute halbieren sich die Diagonalen gegenseitig und schneiden sich im rechten Winkel.
Teste dich
Umfang aus der Seitenlänge: Der Umfang ist die Länge des Randes. Weil eine Raute vier gleich lange Seiten der Länge a hat, gilt: U=4\cdot a Flächeninhalt aus den Diagonalen: Sind die ganzen Diagonalen e und f gegeben, berechnest du: A=\frac{e\cdot f}{2} Warum wird durch 2 geteilt? Die Diagonalen bilden vier rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten \frac e2 und \frac f2. Zusammen haben sie den Flächeninhalt 4\cdot\frac12\cdot\frac e2\cdot\frac f2=\frac{e\cdot f}{2}. Flächeninhalt aus Seite und Höhe: Kennst du die Seitenlänge a und die zugehörige Höhe h_a, gilt wie beim Parallelogramm: A=a\cdot h_a Die Höhe h_a ist der senkrechte Abstand zwischen den beiden parallelen Seiten der Länge a.
Beispiel: Umfang bei a=7\,\mathrm{cm}
- 1U=4\cdot a
- 2U=4\cdot 7\,\mathrm{cm}=28\,\mathrm{cm}
Beispiel: Fläche bei e=12\,\mathrm{cm} und f=8\,\mathrm{cm}
- 1A=\frac{e\cdot f}{2}
- 2A=\frac{12\,\mathrm{cm}\cdot 8\,\mathrm{cm}}{2}=48\,\mathrm{cm}^2
Beispiel: Fläche bei a=6\,\mathrm{cm} und h_a=5\,\mathrm{cm}
- 1A=a\cdot h_a
- 2A=6\,\mathrm{cm}\cdot 5\,\mathrm{cm}=30\,\mathrm{cm}^2
Teste dich
Eine Raute ist ein besonderes Parallelogramm: Ihre Gegenseiten sind parallel, zusätzlich sind alle vier Seiten gleich lang. Ein Quadrat ist eine besondere Raute. Es besitzt neben vier gleich langen Seiten auch vier rechte Winkel. Hat eine Raute nur einen rechten Winkel, dann sind wegen der gleichen Gegenwinkel und der Ergänzung benachbarter Winkel automatisch alle vier Winkel rechte Winkel. Die Raute ist dann ein Quadrat. Ein allgemeines Drachenviereck kann zwei Paare gleich langer Nachbarseiten haben, ohne dass alle vier Seiten gleich lang sind. Eine Raute erfüllt die weitergehende Bedingung, dass sämtliche Seiten gleich lang sind.
Merke: Jedes Quadrat ist eine Raute. Aber nicht jede Raute ist ein Quadrat.
Teste dich
Sind die Seitenlänge a und ein Winkel \alpha gegeben, konstruierst du die Raute mit Lineal, Zirkel und Winkelmesser. Alle vier Seiten entstehen als Radien von Kreisbögen mit derselben Länge a. Deshalb ist die fertige Figur sicher eine Raute.
Beispiel: Raute mit a=5\,\mathrm{cm} und \alpha=60^\circ
- 1Zeichne die Strecke \overline{AB} mit 5 cm.
- 2Trage in A den Winkel 60^\circ an.
- 3Kreisbogen um A mit Radius 5 cm: Der Schnittpunkt mit dem Schenkel ist D.
- 4Kreisbögen um B und D mit Radius 5 cm: Ihr zweiter Schnittpunkt ist C.
- 5Verbinde B mit C und C mit D.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Raute
Erkennen
vier gleich lange Seiten
Seiten und Winkel
Gegenseiten parallel, Gegenwinkel gleich groß
Diagonalen
senkrecht, halbieren einander, Symmetrieachsen
Umfang
U=4a
Fläche
A=\frac{e\cdot f}{2} oder A=a\cdot h_a
Sonderfall
Mit einem rechten Winkel wird die Raute zum Quadrat.
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Ein rautenförmiges Beet: Zaun und Fläche
- 1Gegeben: a=3\,\mathrm{m}, e=4{,}8\,\mathrm{m}, f=3{,}6\,\mathrm{m}
- 2Umfang: U=4\cdot 3\,\mathrm{m}=12\,\mathrm{m}
- 3Fläche: A=\frac{4{,}8\,\mathrm{m}\cdot 3{,}6\,\mathrm{m}}{2}
- 4A=\frac{17{,}28\,\mathrm{m}^2}{2}=8{,}64\,\mathrm{m}^2
- 5Für den Zaun brauchst du 12 m, bepflanzen kannst du 8,64 m².
Fehler finden
Fläche einer Raute mit e=9\,\mathrm{cm} und f=4\,\mathrm{cm} In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Das Teilen durch 2 fehlt: 36\,\mathrm{cm}^2 ist das Rechteck um die Raute. Richtig ist A=\frac{36\,\mathrm{cm}^2}{2}=18\,\mathrm{cm}^2.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Eine Raute hat vier Seiten. Ihre Diagonalen stehen aufeinander. Gegenüberliegende Winkel sind .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback