Mathematik · Klasse 7 · aktualisiert
Haus der Vierecke: Arten erkennen und begründen
Quadrat, Rechteck, Raute, Parallelogramm, Trapez und Drachen hängen zusammen. Du lernst, sie zu erkennen und ihre Beziehungen zu begründen.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Das Haus der Vierecke ordnet Trapez, Parallelogramm, Rechteck, Raute, Drachen und Quadrat nach ihren Eigenschaften. Jede speziellere Art erfüllt alle Bedingungen der allgemeineren und hat zusätzliche. Deshalb ist jedes Quadrat ein Rechteck, aber nicht jedes Rechteck ein Quadrat.
Das Haus der Vierecke ordnet Vierecksarten nach ihren Eigenschaften. Eine weiter oben eingeordnete Art erfüllt alle Bedingungen der darunter verbundenen Art und besitzt zusätzliche Eigenschaften. Deshalb ist zum Beispiel jedes Quadrat ein Rechteck, aber nicht jedes Rechteck ein Quadrat.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
3 Abschnitte
Stell dir das Haus nicht als Rangliste vor. Ein Quadrat ist nicht „besser“ als ein anderes Viereck, es erfüllt nur mehr besondere Bedingungen. Eine Verbindung liest du von der allgemeineren zur spezielleren Art: Die obere Art hat alle Eigenschaften der unteren und mindestens eine zusätzliche. Gegenseiten liegen einander gegenüber, benachbarte Seiten treffen sich an einer Ecke. Für das Trapez gilt hier die Definition aus dem Haus: mindestens ein Paar paralleler Gegenseiten. Dadurch ist auch jedes Parallelogramm ein besonderes Trapez. Eine Figur darf mehrere richtige Namen haben: „Quadrat“ ist der genaueste, „Rechteck“ oder „Raute“ bleiben aber ebenfalls richtig.
Definition
Spezialfall
Eine Vierecksart ist ein Spezialfall einer anderen Art, wenn sie alle Eigenschaften dieser allgemeineren Art besitzt und zusätzliche Bedingungen erfüllt.
| Vierecksart | Kennzeichnende Eigenschaften |
|---|---|
| allgemeines Viereck | vier Seiten; keine weitere besondere Eigenschaft ist vorgeschrieben |
| Trapez | mindestens ein Paar paralleler Gegenseiten |
| Parallelogramm | zwei Paare paralleler Gegenseiten |
| Rechteck | Parallelogramm mit vier rechten Winkeln |
| Raute | Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten |
| Drachenviereck | zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten |
| Quadrat | vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel |
Merke: Eigenschaften werden entlang einer Verbindung zur spezielleren Art übernommen. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.
Teste dich
Eine gute Begründung nennt nicht nur zwei Namen, sie verbindet deren Eigenschaften: Welche Bedingungen gelten unten, und welche kommt oben dazu? Du darfst auch längere Ketten nutzen. Jedes Quadrat ist ein Rechteck, jedes Rechteck ist ein Parallelogramm, also ist jedes Quadrat ein Parallelogramm. Diese Weitergabe über mehrere Verbindungen heißt transitiv.
Beispiel: Jedes Quadrat ist eine Raute
- 1Raute: Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten
- 2Quadrat: zwei Paare paralleler Gegenseiten, vier gleich lange Seiten
- 3Das Quadrat erfüllt also alle Bedingungen einer Raute.
- 4Die vier rechten Winkel sind eine zusätzliche Eigenschaft des Quadrats.
Beispiel: Das Quadrat auf mehreren Zweigen
- 1Vier rechte Winkel und zwei Paare paralleler Gegenseiten: ein Rechteck
- 2Vier gleich lange Seiten: eine Raute
- 3Je zwei benachbarte Seiten gleich lang: ein Drachenviereck
- 4Ein Paar paralleler Gegenseiten reicht schon: auch ein Trapez
Teste dich
Wörter wie alle, manche und keine verändern eine Aussage grundlegend. Alle heißt: Die Aussage gilt ohne Ausnahme für jede Figur dieser Art. Manche heißt: Mindestens eine solche Figur erfüllt sie. Keine heißt: Es gibt kein einziges passendes Beispiel. So gehst du vor: Übersetze die Aussage zuerst in Eigenschaften. Suche bei „alle“ ein Gegenbeispiel, bei „manche“ ein Beispiel. Prüfe bei „keine“, ob sich die beiden Arten überschneiden können.
Beispiel: Drei Aussagen über Rechtecke prüfen
- 1„Alle Rechtecke sind Quadrate.“ Falsch: Ein Rechteck mit 6 cm und 4 cm hat keine vier gleich langen Seiten.
- 2„Manche Rechtecke sind Quadrate.“ Richtig: Jedes Quadrat erfüllt die Rechteckbedingungen.
- 3„Kein Rechteck ist ein Drachenviereck.“ Falsch: Ein Quadrat ist beides.
Merke: Um eine „Jedes“-Aussage zu widerlegen, genügt ein einziges passendes Gegenbeispiel.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Haus der Vierecke
Grundidee
Speziellere Arten übernehmen alle Eigenschaften der allgemeineren
Trapez und Parallelogramm
mindestens ein bzw. zwei Paare paralleler Gegenseiten
Rechteck und Raute
Parallelogramm plus vier rechte Winkel bzw. vier gleich lange Seiten
Drachenviereck
zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten
Quadrat
verbindet Rechteck- und Rauteneigenschaften
Aussagen prüfen
Definitionen nutzen und Gegenbeispiele suchen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und Winkeln von 60° und 120° einordnen
- 1Die Gegenseiten sind paarweise parallel: ein Parallelogramm, also auch ein Trapez.
- 2Alle vier Seiten sind gleich lang: zusätzlich eine Raute.
- 3Je zwei benachbarte Seiten sind gleich lang: auch ein Drachenviereck.
- 4Kein Winkel ist ein rechter: kein Rechteck, also auch kein Quadrat.
- 5Genauester Name: Raute.
Fehler finden
Quadrat und Rechteck vergleichen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 4Die Beziehung gilt nur zur spezielleren Art hin. Ein Rechteck mit 6 cm und 4 cm hat keine vier gleich langen Seiten. Richtig ist: Manche Rechtecke sind Quadrate, aber nicht alle.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Jedes Quadrat ist ein Rechteck. Eine Raute ist ein Parallelogramm mit vier gleich langen . Eine „Jedes“-Aussage widerlegst du mit einem einzigen .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback