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Die Komplexen Zahlen - Einführung
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 30 Zeilen
- Ihr kennt das oder? Wenn man gladenlos überfordert ist, geht eine Mant ja praktisch die ganze Zeit so. Man guckt zwar wüssend, aber hat keinen Plan, was
- abgeht. Und dann wollen wir hier auch noch was über komplexe Zahlen schwafeln, wo Mathe ja eh schon schwer ist. Kein Stress, die sind echt einfach und geil.
- So geil wie Mathe halt sein kann. [Musik] Wir wollen euch heute erklären, was die komplexen Zahlen so sind und was die
- können. Dazu fangen wir mal ganz von vorne an. Bisher haben wir doch immer einen Riesenbogen um Wurzeln von negativen Zahlen gemacht. Jetzt nicht
- mehr. Wir definieren definieren wir definieren uns nämlich einfach eine neue Zahl. I, die imaginäre Zahl. Und wie als die Wurzel von -1.
- I können wir nicht ausrechnen mit den Zahlen, die wir kennen. Ist aber auch wurscht, wollen wir gar nicht. Was aber geil ist, man kann trotzdem mit i
- rechnen. Quadrieren z.B. Das ergibt dann -1 oder hoch 3 nehmen. i hoch 3 können wir nämlich auch als i* i² schreiben und i² war ja -1, also gibt das im gesamten
- - i oder hoch 4. Wenn ihr das aufteilt, gibt's -1* -1, also 1. So geht's mit hoch 5 und so natürlich immer weiter. Man kann auch teilen, weil 1 ja i hoch 4
- ist, ist 1 dur i, i hoch 4 dur i und das ist i hoch 3. i hoch 3 kennen wir schon, das war -1. Klasse. Man kann jetzt aber mit I auch ganz neue Zahlen definieren.
- Die komplexen Zahlen. Wer hat's gedacht? Für komplexe Zahlen nimmt man irgendeine reelle Zahl A und eine andere reelle Zahl B. Die werden dann so addiert. Zu A
- add addiert ihr I mal b. C haben wir die Zahl mal genannt, weil sie komplex ist. Die komplexen Zahlen haben auch ihren eigenen Buchstaben. So ein C mit
- Doppelstrich. Wenn ihr für B 0 einsetzt, kriegt ihr natürlich für Celle Zahl raus. Die reellen Zahlen sind also in den Komplexen mit drin enthalten. Die
- Teile A und B haben auch einen Namen. A ist der Realteil, weil das der Teil ist, der reell ist. Verdammt's. B ist der Imaginärteil, weil der dafür sorgt, dass
- C eine komplexe Zahl ist, weil I halt eine imaginäre Zahl ist, die es nicht gibt. Komplexe Zahlen stellt nun meistens in so einem Graf da, wo die
- Achse nach oben den Imaginärteil, die Achse nach rechts den Realteil angibt. Z.B. Die Zahl hier 2 + 3 I Realteil wäre die 2, Imaginärteil die 3. Deshalb sieht
- das Ganze so aus. Grün der Imaginärteil, orange der Realteil. Das rote Kreuz ist dann die Zahl. Die Linien haben wir mal hingemacht, damit eure vom Suf getrübten
- Augen die Punkte noch sehen. Jetzt gucken wir mal die Zahl I an, die wäre das blaue Kreuz. Ifach 0 + I* 1. Imaginärteil ist 1, Realteil 0 und
- voila. Im Prinzip könnt ihr euch die komplexe Zahl also immer als Vektor mit zwei Komponenten denken. Die reelle und die imaginäre Komponente. Jibt natürlich
- wie bei jedem Vektor auch einen Betrag, also die Länge vom Ursprung bis zum Punkt, also die Länge von dem weißen Pfeil hier. Aber wie berechnet man den
- Betrag bei einer komplexen Zahl? Ganz einfach, wie bei jedem anderen Vektor auch. Erst quadriert ihr die beiden Komponenten, dann addiert ihr das, dann
- zieht ihr die Wurzel. Könnt es auch gerne nachmessen, wenn ihr Bock habt. Ein ganz einfaches Prinzip noch vom Namen der nicht schcken lassen. Die
- komplexe Konjugation. Klingt erstmal mega behindert, aber ist auch voll easy. Ihr setzt in eurer komplexen Zahl dann einfach für alle I ein - I ein, also so
- wie hier. Und weil man nicht jedes Mal so ein blödes Konjugiert unten dran schreiben will, wird das komplex konjugierte so geschrieben mit so einem
- Strich drüber. Die komplexe Konjugation spiegelt euch also praktisch eure Zahl an der reellen Achse, also der nach rechts. Wenn wir also wieder die Zahl 1
- + 3i nehmen, sieht das so aus. Das rote Kreuz ist immer noch die normale Zahl. Der rote Punkt ist die konjugierte Zahl 1 - 3e, also einfach der weiße Pfeil
- nach unten gespiegelt. Wirkt erstmal unnötig, wird aber später bei den Rechnungen mit den komplexen Zahlen manchmal echt wichtig. J. Was müsst ihr
- euch jetzt merken? Erstens, die Wurzel von -1 ist die imaginäre Zahl I. Zweitens, jede komplexe Zahl hat einen Realteil und einen Imaginärteil, beides
- kann aber null sein. Drittens, man kann komplexe Zahlen in einem Graf darstellen. Viertens, der Betrag von komplexen Zahlen wird wie bei Vektoren
- berechnet. Fünftens, wenn man alle I durch - I ersetzt, hat man das komplex konjugierte. Und wer sich fragt, was der ganze Rotz mit dem Konjugiert sein soll,
- der zieht sich einfach das Video hier rechts rein. Da geht's direkt weiter mit den komplexen Zahlen. Haut rein und macht's gut. Co?
Zum Nachlesen
Komplexe ZahlDie komplexen Zahlen stellen eine Erweiterung der reellen Zahlen dar. Ziel der Erweiterung ist es, algebraische Gleichungen wie x 2 + 1 = 0 {\displaystyle …
Imaginäre ZahlEine (rein) imaginäre Zahl (auch Imaginärzahl, lat. numerus imaginarius) ist eine komplexe Zahl, deren Quadrat eine nichtpositive reelle Zahl ist.
Konjugierte MatrixDie konjugierte Matrix, kurz Konjugierte, ist in der Mathematik diejenige Matrix, die durch komplexe Konjugation aller Elemente einer gegebenen komplexen …
Formelsammlung Arithmetik2.4 Binomische Formeln. 3 Bruchrechnung. 3.1 Bezeichnungen; 3.2 Rechenregeln ... b + b 2 {\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}} …