Komplexe Zahlen | Kartesische Form, Summe, Differenz, Produkt, Quotient, geometrische Interpretation
MathePeter
https://www.youtube.com/watch?v=zB2VwWzpYx4

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 die komplexen zahlen sind eine körper erweiterung der reellen zahlen was vor allem für den praktischen gebrauch für uns bedeutet dass wir ganz einfach mit
0:06 ihnen plus minus x und geteilt durch rechnen können und dass die wichtigsten grundrechte gesetze weiterhin gelten wie jetzt allerdings die addition
0:14 subtraktion multiplikation und auch die division komplexer zahlen funktioniert was ist mit der komplexen konjugation auf sich hat und wie du dir das ganze
0:22 geometrisch vorstellen kannst das erkläre ich dir jetzt los geht's los hat die kompletten zahlen dargestellt im kt sicher form das heißt dass man die
0:29 koordinaten dieser komplexen zahl im kt sischen koordinatensystem direkt aus der darstellung ablesen kann dass es geht dabei die anzahl der schritte in
0:38 richtung der reellen achse an deswegen nennt man das ixs auch den real teil der komplexen zahl und das y gibt die anzahl der schritte in richtung der
0:46 imaginären achse an deswegen hält man das y auch den imaginär teil der komplexen zahlen das ist dabei einfach nur die wurzel auf -1
0:54 und trennt damit real und imaginärer teil von einander jede komplexe zahl lässt sich eindeutig in real- und imaginär teile zerlegen wobei ganz
1:03 wichtig noch mal zu bemerken ist dass das selbst nicht zum imaginären teil der zugehört nur das was an dass sie dran multipliziert wird das y
1:12 das ist der e mail den erdteil das heißt sowohl ich als auch y real imaginär teil sind beides reelle zahlen und dank der definition von hamilton
1:22 können wir uns jetzt so eine komplexe zahl auch ganz einfach als einen vektor in der xy ebene vorstellen und das hilft uns dabei zu verstehen was die addition
1:31 subtraktion multiplikation und auch die vision komplexer zahlen eigentlich bewirkt stell dir mal die komplexen zahlen 2 + 3 und 4 plus in der komplexen
1:40 zahlen ebene vor wenn du jetzt die beiden komplexen zahlen miteinander agieren also z 1+2 oder ausgeschrieben 2 +3 +4 fluss einem
1:53 dann sagte ich ja schon dein gefühl dass du direkt die summenden ohne zusammenfassen kannst also 2 plus 4 gleich sechs und die summenden mit einem
2:02 sofort zusammenfassen kannst 3+ einem ist gleich vier und das bedeutet wenn du jetzt zwei komplexe zahlen miteinander agiert
2:12 dann addieren sich lediglich die real teile zwei plus vier gleich sechs und es addieren sich die imaginär teile drei plus eins gleich vier und wenn du dir
2:23 jetzt diese komplexen zahlen als vektoren vorstellst dann bedeutet die addition von komplexen zahlen lediglich dass es zu einer verschiebung entlang
2:32 der vector teile der eigenen komplexen zahl und der anderen komplexen zahl kommen die reihenfolge ist dabei vollkommen egal die subtraktion
2:38 komplexer zahlen funktioniert nach dem gleichen prinzip annahmen wir haben die gleichen beiden komplexen zahlen wenn wir sie jetzt voneinander abziehen
2:45 wollen also z1 - z 2 rechnen wollen und ausgeschrieben 2 +3 ii - 4+ einem dann musst du aufpassen denn die hintere komplexe zahl die die abgezogen wird die
2:58 muss hier in klammern gesetzt werden denn es muss sowohl der real als auch der imaginäre teil abgezogen werden es liegt daran dass die gleichen grund
3:06 rechnen gesetze gelten die auch in den reellen zahlen das heißt wenn wir das hier zusammenfassen wollen dann können wir
3:11 die klammern auflösen müssen noch aus der schule kennen einfach das vorzeichen von jedem einzelnen so nannten ändern 2 3 - 4 - 1
3:20 und dann arbeiten wir genau wie eben wir fassen die real-time zusammen 24 gleich - 2 und wir fassen die romand mit dem i zusammen 3 - eine mir ist gleich zwei
3:32 was bedeutet dass der real teil gleich -2 und der imaginär teil gleich plus zwei ist und wenn du dir jetzt wieder diese komplexen zahlen als vektoren
3:43 vorstellst dann bedeutet diese subtraktion einfach nur dass ein neuer weg dabei herauskommt wenn man ihnen parallel verschiebt dann zeigt er von z2
3:53 auf z1 also kurz zusammengefasst bei der addition und subtraktion komplexer zahlen handelt es sich lediglich um eine verschiebung operation eine transaktion
4:02 bevor wir gleich weitermachen mit der multiplikation mit der division kurz noch was zur komplexen konjugation das ist nämlich nicht nur ein ziemlich
4:09 hilfreiches werkzeug sondern sie hat auch eine ziemlich geniale geometrischer interpretation die komplexe konjugation schreibt man mit so einem strich über
4:17 der komplexen zahl und die bedeutung ist dass sich lediglich das vorzeichen vom imaginär teil also wenn man ins plus oops i lon
4:27 komplex konjugiert dann kommt raus - die y wenn also der imaginär teil von der zahl z positiv ist dann ist der imaginäre
4:38 teil der komplexen konjugation negativ und umgedreht ist der imaginär teil negativ dann wird er nach der komplexen konjugation jetzt positiv sein
4:47 und das bedeutet wenn du das ganze wieder in der komplexen zahlen ebene vorstellst dass es lediglich zu einer spiegelung an der reellen achse kommt
4:54 also wenn man komplex konjugiert dann kommt es zu einer spiegelung an der x-achse oder besser gesagt an der reellen achse war ich dann einfach xbl
5:08 achse und y die imaginäre achse der einfachheit halber jetzt gibt es aber auch noch andere arten der spiegelung zum beispiel wenn man das komplette
5:15 vorzeichen von der komplexen zahl ändert in dem fall kommt es zu einer spiegelung am koordinaten ursprung an nullpunkt also das hier ist eine spiegelung an dem
5:30 punkt null null punkt spiegelung sagt man dazu und wenn wir jetzt schon die spiegelung am koordinaten ursprung haben an der
5:36 x-achse dann ist wahrscheinlich die spiegelung an der y-achse auch nicht weit weg und tatsächlich wenn wir komplex konjugieren und das vorzeichen
5:44 ändern oder andersrum erstes vorzeichen ändern und dann komplex konjugieren die reihenfolge spielt keine rolle
5:50 im übrigen egal bei welcher komplexen zahl ob bei der multiplikation division addition subtraktion immer ist die komplexe konjugation vertauscht war von
6:00 der reihenfolge du kannst ja am anfang an wänden oder erst ganz am ende in dem fall haben wir das gleiche wie hier nur eben mit einem
6:08 geänderten vorzeichen im imaginär teils bedeutet - xy und das ist tatsächlich eine spiegelung an der y-achse weil der imaginär teil
6:21 gleich bleibt aber lediglich der realtime im vorzeichen geändert wird und damit haben wir alle wichtigen spiegel operationen zusammen und du hast die
6:32 komplexe konjugation kennengelernt jetzt können wir weitermachen nehmen wir uns einfach mal für die multiplikation die bei
6:37 in komplexen zahlen 1 + 1 halb ii und 2 +3 wenn wir jetzt die beiden komplexen zahlen miteinander multiplizieren
6:45 das hat 1 x 10.2 rechnen wollen dann funktioniert das grundlegend erstmal so wie auch in den reellen zahlen wir können die beiden in klammern
6:54 nebeneinander schreiben da kann man deswegen weil immer noch gilt punkt vor strich rechnung und wenn wir die klammern auflösen
7:00 wollen also zurückkommen wollen zu dieser gewohnten kt sischen darstellung dann können wir wieder mit dem distributor gesetz arbeiten also
7:06 einfach jeden summenden der eine klammer mit jedem summenden der anderen klammer multiplizieren soll das bedeutet wir haben einmal zwei gleich zwei einmal
7:16 drei gleich drei und dann noch ein halb ii x 2 ist gleich und einzelne und ein halt mal drei oder mehr rechnern eineinhalbmal 323 halvers und email wird
7:32 zu iquadrat das ist neu wir wissen ja dass per definition gleich wurzel aus - einsetzt das bedeutet aber auch wenn wir wurzel aus - 1 quadri an dann haben wir
7:43 wieder minus 1 bei raus ok spannend wenn wir also eine rein imaginäre zahl quartieren dann kommt wieder eine negative reelle zahl raus und siehst du
7:54 das multipliziert ergibt dass hier gerade - drei halbe und diese reelle zahl hier die kann dann wieder mit dieser reellen zahlen dort vorne
8:02 zusammengefasst werden 2 - 3 halbe ist gleich ein halter unbedingt immer auf das ende vorzeichen achten und dann können wir wieder wie gewohnt die so
8:12 manchen zusammenfassung die beide eine beinhalten also drei plus eins ist gleich vier richtig spannend wird es allerdings wenn
8:20 wir uns mal diese komplexen zahlen wieder in der russischen zahlen ebene anschauen das produkt von zwei komplexen zahlen
8:26 ist lediglich abhängig von deren abstand zum koordinaten ursprung und deren winkel zur reellen achse wie ihr chance das ganze auch noch mal genau im
8:38 nächsten video an du kannst ja aber jetzt schon mal für die geometrische vorstellung merken wenn wir zwei komplexe zahlen miteinander
8:45 multiplizieren passiert folgendes der abstand zum koordinaten ursprung denen bezeichnet man auch oft mit dem betrag oder wenn
8:54 ihn später radius und der ist einfach nur das produkt der abstände von den beiden komplexen zahlen die als faktoren hergehalten haben also die beträge der
9:06 beiden faktoren wenn man sie multiplizieren dann kommt gerade der betrag von dem produkt bei raus und noch genialer finde
9:13 ich es mit dem winkel wir nennen das auch manchmal argument der winkel oder das argument der komplexen zahlen das ist einfach nur die summe der beiden
9:23 winkel und interessanterweise funktioniert das tatsächlich für jedes produkt von komplexen zahlen einfach erstmal nur für die vorstellung was bei
9:33 der multiplikation eigentlich passiert bevor wir uns gleich die division anschauen zeige ich dir noch kurz ein unglaublich mächtiges werkzeug dass ich
9:39 nicht nur super einfach merken lässt sondern dass du direkt auch gleich bei der division benutzen kannst und zwar immer wenn du eine komplexe zahl mit
9:46 ihrer komplex konjugierten multipliziert komplex konjugiert war wenn sich das vorzeichen vom imaginär thailänderin und wenn du die beiden
9:55 miteinander multipliziert dann kommt aber es ziemlich genial ist und einfaches bei raus das ist uns aber mal im allgemeinen und auf dem weg der
10:03 multiplikation durchführen so wird es eben gemacht haben wir können also einfach mit dem distributor gesetz jedem so nannten der eine klammer mit jedem
10:11 summenden der anderen klammer multiplizieren dann haben wir x-mal ex gleich iks quadrat dann haben wir noch das produkt
10:17 - xy und dann war da noch irgendwo noch nie doch egal welcher reihenfolge dann haben wir noch das produkt von den beiden also
10:27 plus xy und zu guter letzt noch - wie quadrat x y quadrat siehst du das - xy e-plus xy das hat sich gegenseitig weg und über
10:42 bleibt noch iquadrat was ja lediglich minus 1 ist mit einem minus davor also minus -1 wird zu einer +1 und damit haben wir lange rede kurzer sinn
10:51 realtime quadrat plus imaginär teil quadrat und zwar unabhängig davon ob hier ein plus oder ein minus davor steht wenn du eine komplexe zahl mit ihrer
11:01 konjugierte multipliziert dann kommt als ergebnis raus realtime quadrat plus imaginär teil quadrat im nächsten video werden wir sogar noch sehen dass das
11:10 nichts anderes ist wie der betrag also der abstand zum ursprung zum quadrat aber das ist einfach erst mal nur als kleiner van und genau diesen
11:19 zusammenhang können wir gleich auch bei der division benutzen und zwar ohne diesen lästigen rechten weg hier nehmen wir uns einfach mal für die division die
11:26 beiden komplexen zahlen - 3 + 4 und 1 + 3 iv wenn wir jetzt durcheinander teilen worden also zum beispiel z1 durch z2 rechnen wollen dann gibt es ein kleines
11:38 problem und um das problem ein bisschen greifbarer zu machen schreibt es einmal hier oben in allgemeiner form auf und
11:44 hier unten direkt mit eingesetzten zahlen also - 3 plus vier geteilt durch 1 + 3 das problem ist jetzt dass wir hier
11:55 unten im nenner noch die imaginäre einheit ii haben das wollen wir aber nicht wir wollen am ende dass die komplexe zahl die entsteht wieder in
12:03 katholischer form aufgeschrieben werden kann also schön in reale und imaginäre teil getrennt werden kann
12:10 dafür sollte dass sie wenn überhaupt oben zähler vorkommen aber nicht mehr unten im jänner zum glück gibt's jetzt aber einen super einfachen trick um das
12:17 nie von mir unten verschwinden zu lassen das haben uns gerade eben angeschaut wenn wir hier unten nämlich nicht dem komplex konjugierten multiplizieren
12:26 würden da würde ja nur rauskommen real teil quadrat plus imaginär teil quadrat aber in würde selbst nicht mehr drin vorkommen dann nochmal ein gehört nicht
12:36 zum immer genährt teil dazu und genau das können wir durchführen wir können einfach im c a und männer mit dem komplex konjugierten des nenners
12:44 erweitern also an z1 und z2 multipliziere jetzt jeweils das komplex konjugierte des neckars siehst du das ist genau das gleiche
12:57 damit wir es im zweifelsfall wieder weg kürzen können wenn du doch nicht gefällt es bleibt sat 1 durch z2 und wir können mit genau der gleichen komplexen zahl
13:05 erweitern der vorteil ist jetzt allerdings dass wir unten im jänner eine komplexe zahl mit ihrer komplexen
13:14 zahlen multiplizieren also raus kommt der betrag zum quadrat gut tragen jetzt auch nicht wirklich gesprochen im grunde ist es nur realtime quadrat
13:24 plus imaginär teil quadrat was hier unten steht und dass uns das man hier direkt umsetzen also wir erweitern im zähler und im nenner in beiden mit dem
13:35 komplex konjugierten des nenner ist also die beiden bleiben so bestehen die sie sind jetzt kommt allerdings genau dieselbe komplexe zahl dazu und zwar das
13:44 komplex konjugierte des nenner ist das einfach mit geänderten vorzeichen würde hier ein minus stehen würdest du dir ein plus entscheiden und
13:52 genau das was hier steht jetzt auch hier oben einfach damit wir es im zweifelsfall direkt wieder weg kürzen können wenn es uns doch nicht gefällt
13:59 aber es gefällt uns sehr gut denn wenn wir jetzt hier unten aus multiplizieren den spaß machen wenn e mail ist ein allgemeiner form macht dann kommt gerade
14:07 im nenner realtime quadrat plus imaginär teil quadrat raus also 1 quadrat +3 quadrat das einzige was wir jetzt noch machen müssen und da kommen wir leider
14:19 nicht drum herum ist tatsächlich hier oben im zähler noch so ein produkt aus zu multiplizieren also tatsächlich bei so einer division in katholischen
14:27 koordinaten kommt noch so eine multiplikation drinnen vor okay das ist nicht schlimm denn das ist gerade - dreimal 1 ist eine - 3 -
14:35 dreimal - 3i wird zu einer plus 9 dann haben wir noch vier mal 14 und dann haben wir noch vier mal - 3g also - 12 quadrat schreiben uns auch
14:51 durch noch mal so auf aber in zukunft erst ziemlich gut wenn du iquadrat direkt zu einer -1 machst also dieses iquadrat erinnert lediglich mainz vor
15:00 lässt das vorzeichen das heißt hier steht eigentlich eine +12 und plus 12 - 3 das ist gerade eine 9 und 9 4 das ist gerade 13 und damit haben es
15:15 geschafft da unten ist eins plus 9 gleich 10 und was sie jetzt noch machen kannst wenn du es möchtest und das würde ich
15:21 dir empfehlen das einfach schöner aussieht ist jetzt diesen bruch aufzuteilen dass genau das gleiche recht umgesetzt wie auch im realen
15:26 wir dürfen jeden summenden des zählers durch den gesamten nenner teilen also wir haben hier 19 + 13 10 und damit haben wir neun zehntel als realtime und
15:39 13 zehnte als imaginärer ist dass wir haben diesen quotienten komplexer zahlen wieder in wunderschöner pathetischer darstellung aufschreiben können
15:49 und wenn du das ganze jetzt wieder geometrisch anschaust also einfach die beiden komplexen zahlen durcheinander teilst in der komplexen zahlen ebene
15:57 dann wirst du dir sicher denken können dass das so ähnlich sich verhält wie auch bei der multiplikation also dass das endergebnis der quotient lediglich
16:06 abhängig ist von den abständen zum koordinaten ursprung und von den winkeln zu reellen achse und tatsächlich ist es so dass wir schauen uns das genauer auch
16:14 noch mal im nächsten video an aber wenn wir zwei komplexe zahlen durcheinander teilen dann ist der abstand der neu
16:24 entstehenden komplexen zahlen einfach nur der quotient aus den abständen von den anderen beiden und mit dem winkel klaps genauso wenn bei der
16:34 multiplikation die winkel addiert werden kannst du dreimal raten was passiert wenn wir sie durch in einer teilen die winkel die argumente werden von einer
16:44 abgezogen dann schreibt man hier weiter - argument von der 2 und das klappt nicht nur bei unserem beispiel hier sondern für alle komplexen zahlen fassen
16:52 einmal kurz zusammen was wir bis hierher geschafft haben wenn wir zwei komplexe zahlen miteinander addieren oder subtrahieren dann kommt es zu einer
16:59 verschiebung einer transaktion das bedeutet im endeffekt nur dass hier lediglich die real-time zusammenfassen sie addieren oder subtrahieren und die
17:07 imaginäre teile zusammen fassen also sie addieren oder subtrahieren aber untereinander haben die keinen einfluss spannender sieht das ganze schon aus bei
17:15 der multiplikation beziehungsweise bei der division dame nämlich herausgefunden dass das produkt beziehungsweise der quotient komplexer zahlen lediglich
17:22 abhängig ist von den abständen zum koordinaten ursprung und vom winkel zu reellen achse und wenn wir jetzt zeit komplexe zahlen miteinander
17:32 multiplizieren beziehungsweise durcheinander teilen dann kommt es also einfach nur zu einer streckung beziehungsweise stauchungen und zu einer
17:39 drehung zu einer rotation weil ja im fall der multiplikation sich die winkel an ihren und dem fall der division die winkel von
17:45 einer abgezogen werden das einzige worauf du wirklich achten musst beim rechnen ist das quadrat gleichen -1 ist das einer der häufigsten
17:52 schüssel fehler bei diesen grundrechenarten und was wir auch noch herausgefunden haben ist die komplexe konjugation die kannst er als ein
18:00 technisches hilfsmittel verstehen trotzdem hat die eine ziemlich geniale geometrische interpretation und zwar haben wir gesagt ist eine komplexe
18:08 konjugation lediglich das vorzeichen vom imaginär thailänder das heißt es kommt zu einer spiegelung an der reellen axa wenn wir allerdings mit den vorzeichen
18:18 von real und imaginär teilen noch ein bisschen rum spielen können wir auch jede andere spiegelung erzwingen und zwar zum beispiel eine spiegelung am
18:24 koordinaten ursprung oder eine spiegelung an der imaginären achse meine empfehlung ist dass du dir diese grundrechenarten nochmal genauer
18:31 anschaut und vielleicht auch ein kleines bisschen trainierst so lange bis du dich damit wohlfühlt und ihr dann das nächste video zu den verschiedenen
18:38 darstellungsmöglichkeiten der komplexen teilen anschaust denn dann geht es richtig los viel spaß heute bis zum nächsten video
18:44 hätte ich auch das video hat der gerade gefallen wenn du dich demnächst auf einer matte prüfung vorbereiten muss dann schaue unbedingt mal unter diesem
18:50 video nach ich habe dort mehrere von meinen online kursen verlinkte dich bestmöglich auf die prüfung vorbereiten wenn ihr das video weitergeholfen hat
18:57 und du mich in zukunft unterstützen möchtest dann erzählt einfach deinen kommilitonen deinen freunden und seiner familie von mir und abonniert den kanal
19:03 danke dir