Erzeugendensystem und lineare Unabhängigkeit - Vektorräume
Mathe - simpleclub
https://www.youtube.com/watch?v=ecvep7cayQE

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Yeah, eine fette Produktion. Und kennt ihr das Ding, die amerikanische Unabhängigkeitserklärung. Beides hat absolut mal gar nichts mit
0:07 Mathe zu tun, oder doch? [Musik] Heute geht's mal wieder um Vektorräume. Damit ihr hier versteht, von was wir
0:19 labern, schaut euch auch die beiden Videos zu den Vektorräumen an. Heute gucken wir uns an, wie Vektoren gebaut werden. Wir wollen heute die erzeugenden
0:27 Systeme von Vektorräumen angucken und wir wollen wissen, was lineare Unabhängigkeit heißt. Klar, dass da was erzeugt wird, ist ja logisch, aber was?
0:36 Gucken wir uns mal den dreidimensionalen Vektorraum aus der Schule an, der mit reellen Elementen uns den Verknüpfungen plus und mal, wie ihr sie kennt. Zur
0:45 Vereinfachung schreiben wir das Vektor Plus und die skalare Multiplikation hier mal ganz normal. Details zu dem Unterschied gibt's in den Vektorraumvos
0:53 von uns, die wir gerade schon verlinkt haben. Wenn ihr z.B. den Vektor 324 anguckt, der ist ja das gleiche wie 3 x 1 00 + 2 x 0 1 0 + 4 x 001. Ihr habt
1:07 also gerade aus den drei Vektoren 100, 010 und 001 und Körperelementen einen neuen Vektor gebastelt. Und egal, welchen Vektor ihr bauen wollt, aus den
1:18 drei Vektoren kriegt ihr den zusammen mit den richtigen Elementen aus den reellen Zahlen immer gebaut. Also sind die drei Vektoren sowas wie ein Bausatz.
1:28 Könnt ihr euch so wie die verschiedenen Zellen in eurem Körper vorstellen. Der Mensch hat davon nur paar hundert verschiedene Muskelzellen, anderem Hirn,
1:35 Blut, Körperchen, Spermien und Eizellen. Weiß der Geier was noch. Aber mehrere Muskelzellen zusammen geben erst einen Muskel. Erst paar Hirnzellen zusammen
1:44 machen ein Hirn. Euer Körper ist deshalb wie aus einem Bausatz aufgebaut aus den Zellen. Genauso ist es auch mit den Vektorräumen. Jeder Vektorraum lässt
1:53 sich aus so bestimmten Bausatzveoren zusammenbauen und der Bausatz für einen Vektorraum hat einen Namen. Wenn man aus einem Bausatz E alle Vektoren im
2:02 Vektorraum V bauen kann, dann wird der Bausatz erzeugenden System von V genannt. Wir haben ja den Vektor 324 vor und zu zusammengebaut. Genauso gut kann
2:13 man den aber auch so zusammenbauen. Könnt gerne nachrechnen. Euer Bausatz ist also nicht eindeutig. Also, wenn ihr sagt: "Ey, ich baue meinen Körper nicht
2:21 aus den Zellen auf, sondern die Zellen baue ich erstmal vorher aus den verschiedenen chemischen Elementen auf, dann wäre euer Körper jetzt zwar nach
2:28 wie vor aus Zellen aufgebaut, aber die sind ja auch aus Elementen aufgebaut, also auch euer Körper." Was ist jetzt also die Definition von dem erzeugenden
2:37 System? Na ja, es stimmt immer noch das, was vorhin war. Wenn ihr jeden Vektor draus bauen könnt, ist es ein erzeugendsystem. Nur gibt's mehrere
2:46 Baukästen, die funktionieren. Und ihr könnt auch aus demselben Baukasten auf unterschiedliche Weise den Vektor bauen. Also ist auch nicht eindeutig, welche
2:55 Zahlen ihr da vorne dran nehmt. Gut, Baukasten klingt nicht wahnsinnig mathematisch. Also, wie sieht das formal aus? Wir machen jetzt mal Vektorpfeile
3:03 drüber und damit ihr den Unterschied zwischen Zahlen und Vektoren seht. Ihr nehmt einen beliebigen Vektor aus eurem Vektorraum. Wenn ihr jeden Vektor mit
3:12 dem gleichen Set an Bauvektoren E aufbauen könnt, dann ist das Set ein erzeugendystem. Dabei gibt's für jeden Vektor mehrere Möglichkeiten, welche
3:21 Zahlen ihr nehmt und auch mehrere Möglichkeiten, mit welchem Bausatz ihr überhaupt anfangt. Ach ja, wenn ihr den Vektorraum nehmt und einfach alle
3:29 Vektoren draus, dann ist das auch ein erzeugendes System, weil mit allen Vektoren könnt ihr ja auch wohl alle Vektoren zusammenbauen. Jetzt ist
3:36 natürlich nur blöd, dass man den Vektor auf verschiedene Weisen aus dem Bausatz aufbauen kann. Die nichtutigkeit pisst noch bisschen an. Woran liegt das? wenn
3:46 man einen von den Bauklötzen aus den anderen Bauklötzen aufbauen kann. Ihr habt z.B. die drei Bauklötze als erzeugenden System. Jetzt könnt ihr aber
3:54 den dritten ja einfach aus den ersten beiden aufbauen. Die hängen also irgendwie zusammen und das kann auch bei erzeugenden Systemen mit Vektorräumen so
4:02 sein. Erinnert sich noch jemand an unser Beispiel von vorhin? Die grünen Vektoren sind Teil des erzeugenden Systems. Jetzt merken wir aber irgendwann, hey, den
4:12 letzten Vektor kann ich ja aus den drei anderen zusammenbasteln. Fachwort dafür: Der Vektor ist von den anderen dreien linear abhängig. Wenn
4:21 eine Menge von Vektoren linear abhängig ist, gilt, ich kann mit einem bestimmten Rezept paar Vektoren aus der Menge zusammenrechnen und krieg dann andere
4:30 Vektoren aus der Menge raus. Das war so wie bei den Bauklötzchen. Da konnte ich zwei zusammenpacken, um den dritten zu bekommen. Ein Spezialfall? Klar, wenn
4:40 ich für alle Zahlen null einsetze, stimmt das immer. Deswegen nennt man es die triviale Lösung, wenn einfach überall null eingesetzt wird. Man kann
4:48 die rechte Seite jetzt auch noch nach links bringen, dann steht rechts der Nullvektor. Immer wenn ihr paar Vektoren so zusammenbauen könnt, sind sie linear
4:56 abhängig. Also, sobald ihr die Vektoren aus dem erzeugenden System so zusammenbasteln könnt, dass am Ende der Nullvektor rauskommt, sind sie linear
5:05 abhängig. Nur dürft ihr nicht null einsetzen. Die Bedingung für das Gedöns in Matheddeutsch sieht so aus. Ihr müsst die Vektoren E halt irgendwie so
5:13 verknüpfen können, dass ihr den Nullvektor bekommt. Dabei darf Lambda natürlich nicht 0 sein. Das war die triviale Lösung, die wir gerade hatten.
5:21 Drückt einfach kurz Pause, um euch die Definition klar zu machen. Was könnte linear unabhängig dann bedeuten? Ihr müsst überall Null einsetzen, damit
5:30 rechts der Nullvektor steht, weil klar, mit der Null geht's immer, aber eben mit keinen anderen Zahlen. Z.B. Die grünen Vektoren 100, 010 und 001 sind linear
5:43 unabhängig. Ihr könnt keinen von denen dreien aus den beiden anderen aufbauen. Denkt kurz drüber nach, wenn das für euch logisch ist, habt ihr die lineare
5:51 Unabhängigkeit verstanden. Also die Kurzform, ihr nehmt einen Baukasten an Vektoren. Wenn ihr da draus den kompletten Vektorraum bauen könnt, ist
6:00 es ein erzeugenden System. Wenn ihr aus irgendwelchen Teilen im Baukasten andere Teile da drin bauen könnt, sind die linear abhängig. Also nur, wenn ihr paar
6:10 Vektoren habt, von denen keiner aus den anderen gebastelt werden kann, dann sind sie linear unabhängig. Weil das Ganze wieder richtig trocken ist, kommt da
6:18 bald auch wieder ein Beispielvideo dazu. Sobald es draußen ist, wird es hier rechts verlinkt. Und weil wir vorhin schon so von voll vielen assi mega
6:26 geilen Zellen gelabert haben, guckt mal auf unserem Bio Channel vorbei und lasst unbedingt ein Abo. Da ist echt eine geile Abwechslung zu dem ganzen Mathte
6:34 gelaber und versprochen auch nicht auf dem Niveau. Haut rein Freunde und macht's gut. Co?