Das Video kommt von YouTube: erst beim Abspielen verbindet sich die Seite mit YouTube (Google).
Linear abhängige Vektoren, linear unabhängige Vektoren, Vektorrechnung
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 24 Zeilen
- In diesem Video möchte ich über die lineare Unabhängigkeit oder auch lineare Abhängigkeit zweier Vektoren reden. Ähm, anschaulich betrachtet wäre die
- lineäre Abhängigkeit, wenn ein Vektor ein Vielfaches eines anderen Vektors ist. Also diese Vektoren liegen auf einer Geraden.
- Also entweder sie zeigen in die gleiche Richtung, sie sind also ein Vielfaches von dem anderen oder in genau die entgegengesetzte Richtung. Aber sie
- liegen immer auf dieser Geraden. Das wäre die lineare Abhängigkeit. Also, es ist ein Vielfares des anderen Vektors. Und bei der linearen Unabhängigkeit wäre
- es so, dass die Vektoren wirklich in komplett andere Richtung zeigen. Lineär unabhängig. Sie haben nichts miteinander zu tun.
- Wenn ich also zwei Vektoren habe, den einen nicht a, der hat die Koordinaten 1, -1 und 2 und der zweite Vektor hat die Koordinaten -3, 3 und -6.
- Und linear abhängig, habe ich gerade eben gesagt, bedeutet, man kann den einen als vielfaches von dem anderen darstellen.
- Mathematisch bedeutet das, der Vektor A ist ein Vielfaches, also eine Zahl R. mal den Vektor B. Setzen wir das jetzt mal ein, was wir haben. Also unsere
- Koordinaten 1, -1 und 2 soll also r mal mein B Vektor sein, also -3 und -6. Ich erhalte jetzt ein Gleichungssystem, indem ich mir alle Zeilen einzeln
- betrachte. Also die erste Zeile wäre 1 = R -3. Die zweite Zeile ist die zweite Komponente, also -1
- = r* 3 und 2 = r -6. Also, ich habe hier ein Gleichungssystem und es muss jetzt ähm erfüllt sein. Also
- für das R muss überall dasselbe rauskommen, damit das Gleichungssystem stimmig ist. Schauen wir uns auch jede Zeile mal einzeln an. Hier oben nach R
- aufgelöst. Ich teile durch -3. Dann komme ich auf -1/3. Zweite Zeile. Ich teile durch 3. Auch hier komme ich für R auf -1/3.
- Und in der dritten Zeile, okay, hier haben wir es dann auch 2 -6 sind -13. Also kommt für das R überall dasselbe raus und ich kann meinen Vektor a
- darstellen als -1/3 mal den Vektor B. Also, ich habe eine Zahl gefunden, ähm sodass ich äh den Vektor B als
- Vielfaches von meinem Vektor A darstellen kann. Also sind diese beiden Vektoren linear abhängig.
- Linear unabhängig möchte ich jetzt an dem nächsten Beispiel zeigen. Ähm, wir haben noch mal einen Vektor A, diesmal 3 4 1 und einen Vektor B
- 1 2 4. Ich stelle A wieder als Vielfaches von B da, also r mal B. Setze meine Koordinaten ein. 3 4 1 = R 1
- 2 4 und schreibe das Ganze als Gleichungssystem. Also 3 = R* 1, 4 = R* 2 und 1 = R* 4.
- Jetzt betrachte ich wieder jede Zeile einzeln. Hier bei der ersten kommt raus, dass r = 3 ist. In der zweiten K raus, dass r = 4 dur 2
- ist, nämlich 2. Und hier haben wir dann schon Widerspruch. 3 ist eben ung 2. Deswegen kann ich den Vektor A nicht als vielfaches
- Vielfaches von dem Vektor B darstellen. Also sind diese beiden Vektoren linear unabhängig. Also bei testen, ob ein Vektor linear
- abhängig oder linear unabhängig ähm sind, stellt man sie einfach als Vielfaches voneinander da und schaut, ob für das R immer dieselbe Zahl rauskommt.
- Wenn nicht, dann sind sie eben linear unabhängig.
Zum Nachlesen
Lineare UnabhängigkeitIn der linearen Algebra wird eine Familie von Vektoren eines Vektorraums linear unabhängig genannt, wenn sich der Nullvektor nur durch eine …
KomplanaritätKomplanaritätsuntersuchungen werden häufig bei der Ermittlung der Lagebeziehungen zwischen Geraden oder Geraden und Ebenen durchgeführt. In der Chemie ist z …
VektorAddition und Subtraktion · Multiplikation mit einem Skalar · Skalarprodukt · Kreuzprodukt · Spatprodukt · Länge/Betrag eines Vektors · Dyadisches Produkt.
KollinearitätKollinearitätsuntersuchungen werden häufig bei der Untersuchung der Lagebeziehungen zwischen mehreren Geraden durchgeführt. Geraden mit kollinearen …