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Winkel zwischen Ebene und Gerade – Analytische Geometrie

MathemaTrick11:31 106.652 Aufrufe veröffentlicht Auf YouTube

Das Wichtigste aus dem Video

Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.

Transkriptautomatisch erstellt · 65 Zeilen
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  1. hallo ihr Lieben heute möchte ich euch zeigen wie man den Winkel zwischen einer Ebene und einer Geraden berechnen kann das ganze schauen wir uns in zwei Fällen
  2. an im ersten Fall ist unsere Ebene in Parameterform gegeben und im zweiten Fall bekommen wir unsere Ebene in Koordinatenform lass uns mal mit dem
  3. ersten Fall starten bestimme den Schnittwinkel zwischen der gerade und der Ebene unsere Gerade g ist hier mit dieser Gleichung gegeben und die
  4. ebenenleich hier bekommen wir in Parameterform im ersten Fall wir sollen jetzt den Winkel zwischen diesen beiden Objekten
  5. bestimmen das heißt wenn wir das mal aufzeichnen hier unsere Ebene die wird geschnitten von dieser Geraden und dann geht es uns um diesen Schnittwinkel hier
  6. den nenne ich mal Alpha der hier zwischen der Ebene und der Geraden verläuft und ihr kennt vielleicht die Formel dafür wie man zwischen zwei
  7. Geraden den Schnittwinkel berechnen kann die Formel für ebene und gerade ist sehr ähnlich bis auf eine Änderung und zwar startet das ganze mit Sinus von Alpha
  8. ist jetzt kommt ein Bruch in den Zähler kommt der Betrag von zwei Vektoren A und B die miteinander multipliziert werden und im Nenner wiederholen sich diese
  9. beiden Vektoren aber wir nehmen den Betrag des Vektors a und multiplizieren das mit dem Betrag vom Vektor B das ist ist die Formel um unseren Winkel Alpha
  10. zu berechnen jetzt ist nur die Frage welche Vektoren wandern denn hier jetzt in die Formel rein was ist a was ist B als a können wir den Richtungsvektor von
  11. unserer geraden nehmen das heißt der Vektor hier der bei dem Buchstaben steht das ist unser Richtungsvektor das wenn wir den mal hier einzeichnen der Vektor
  12. der sagt in welche Richtung unsere gerade läuft den nehmen wir als A und der Vektor B das wird der normalen vktor von unserer Ebene werden das heißt
  13. der Normalenvektor ist immer der Vektor der senkrecht auf unserer Ebene steht und diesen normalenveektor müssen wir jetzt finden dadurch dass unsere Ebene
  14. in Parameterform gegeben ist hier in dem ersten Fall können wir den normalen Vektor nicht direkt angeben den müssen wir erst berechnen und zwar können wir
  15. das machen aus den beiden Richtungsvektor en einmal hier bei den Buchstaben und hier bei dem anderen Buchstaben das sind unsere beiden
  16. Richtungsvektoren von unserer Ebene wenn wir die nehmen und das Kreuzprodukt aus den beiden bilden dann erhalten wir den gewünschten normalen Vektor den wir hier
  17. für unsere Formel brauchen also das erste was wir machen ist diesen normalen Vektor berechnen also schnappen wir uns unsere Ebene und bilden das Kreuzprodukt
  18. aus dem einen Richtungsvektor das wird gekreuzt mit dem anderen Richtungsvektor und das müssen wir jetzt einfach nur berechnen
  19. dabei geht man ja so vor dass man die beiden Vektoren einfach noch mal untereinander schreibt damit man das ein bisschen leichter hat bei den
  20. Berechnungen gleich dann streicht man die erste Zeile und die letzte Zeile und jetzt wird über Kreuz multipliziert erste Zeile hier wird
  21. multipliziert mit der zweiten Zeile und dann wird hier so rum multipliziert das heißt wir halten -2 x 2 schreiben wir es erstmal so ganz ausführlich auf dann
  22. macht man immer Minus und jetzt eben das andere gekreuzte hier -1 mal -1 also die Einträge werden immer miteinander multipliziert berechnen wir gleich was
  23. da rauskommt zweite Koordinate geht es weiter mit dieser Kreuzung hier also -1 mal 0 Null sind immer ganz schön und dann 1 x 2 und die letzte Koordinate
  24. werden diese Zahlen hier gekreuzt das heißt wir haben 1 x [Musik] 1 und dann kmer Minus und - 2 x 0 sehr
  25. schön das rechnen wir aus und erhalten für unseren Normalvektor -2 x 2 S -4 -1 x -1 S 1 also erste Koordinate ist
  26. -5 zweite Koordinate -1 x 0 fällt weg -1 x 2 sind dann nur -2 und hier haben wir 1 mal -1 ist -1- okay 0 kommen hier hinten also
  27. insgesamt -1 das hier ist unser Normalenvektor n den habe ich jetzt mal noch mal hier auf die Seite geschrieben wir haben ja
  28. unseren Vektor a schon gefunden das ist der der Richtungsvektor den haben wir grün markiert von unserer geraden den markiere ich hier auch mal noch mal grün
  29. der wandert hier für das a rein und für das B das Orange da haben wir den normalen Vektor gesucht und den haben wir jetzt gefunden und der wird hier
  30. reinkommen für das B dann können wir den auch umbenennen nicht mehr n als normalen Vektor sondern das ist eben unser B dann packen wir die Sachen jetzt
  31. mal hier rein vielleicht Stück für Stück also wir kümmern uns erstmal um den Teil im Zähler und berechnen das Skalarprodukt aus A und B und bilden
  32. danach den Betrag davon das machen wir jetzt mal hier auf dieser Seite das heißt betragstrich Vektor a schnappen wir uns
  33. alles klar haben wir wird multipliziert mit unserem Vektor B den nehmen wir uns auch hierher und dann Betragsstriche am Ende noch mal zu sozusagen und jetzt
  34. werden diese beiden Vektoren miteinander multipliziert indem man die die ersten beiden Koordinaten miteinander multipliziert einmal
  35. -5 ich schreib es erstmal so ausführlich auf dann kommt immer ein Plus dann daselbe mit der zweiten Koordinate -1 wird multipliziert mit
  36. -2 dann kommt wieder ein Plus und dasselbe mit den dritten Koordinaten 3 wird multipliziert mit -1 betragstrich zu und das muss jetzt nur noch
  37. ausgerechnet werden 1 mal -5 sind - 5 -1* -2 sind 2 also + 2 3* -1 sind -3 also +-3 wird zu -3 das heißt wir haben hier drin -5 + 2
  38. sind erstmal -3 und -3 kommt dann noch dazu -3 mal nicht mal sondern -3 -3 sind dann -6 hier als Ergebnis was machen wir mit
  39. den betragsstrichen die sagen uns egal was hier drin steht vom Vorzeichen das Ergebnis wird immer positiv also hier steht zwar -6 drin
  40. aber die Betragsstriche machen da draus ein eine se wenn hier jetzt schon nur eine 6 gestanden hätte dann schreibt ihr auch einfach eine se hin aber sobald ein
  41. Minus hier drin ist lasst ihr das weg wenn ihr die Betragsstriche anwendet das heißt unser Ergebnis für den Teil hier ist einfach nur se das können wir dann
  42. in die die Formel hier für den Zähler reinschreiben also Links haben wir den Sinus von Alpha und rechts auf unseren Bruch haben wir im Zähler eine se stehen
  43. dann müssen wir die Teile aus dem Nenner berechnen einmal den Betrag von A und einmal den Betrag von B das machen wir mal auf der nächsten Seite um den Betrag
  44. eines Vektors zu berechnen macht man eine große Wurzel und quadriert jetzt die einzelnen Koordinaten das heißt die 1 wird quadriert plus die nächste
  45. Koordinate ist eine -1 wird quadriert plus die nächste Koordinate ist die 3 auch das wird quadriert und das jetzt nur noch ausgerechnet was haben wir
  46. unser unter unserer Wurzel stehen 1 zum quadr ist 1 -1 Z quadr ist auch 1 13 qu sind 9 wenn wir das Ausrechnen kommen wir auf Wurzel von 11 das ist der Betrag
  47. des ersten Vektors und das könnt ihr auch ruhig so stehen lassen das Tippen wir einfach dann gleich in den Taschenrechner
  48. für unseren Vektor B genau dasselbe eine große Wurzel und jede Koordinate wird quadriert also die -5 wird quadriert + die -2 wird quadriert + die -1 wird
  49. quadriert das wird jetzt nur noch ausgerechnet dann haben wir -5 Z quadr sind 25 2 zum qur sind 4 und hier hinten -1 Z qu
  50. sind 1 also insgesamt wen wir das Ausrechnen 25 + 4 + 1 sind 30 also Wurzel von 30 das habe ich jetzt mal noch mal hier hineschrieben und die
  51. beiden Ergebnisse wandern in unsere Formel rein also hier für den Betrag des Vektors a schreiben wir Wurzel von 11 rein und das wird multipliziert mit der
  52. Wurzel von 30 und dann haben wir jetzt alles was wir brauchen in unserer Gleichung hier drin Alpha ist das einzige was unbekannt ist und das
  53. wollten wir herausfinden ne den Winkel zwischen unserer Ebene und unserer geraden falls ihr euch noch erinnert was wir hier eigentlich machen wollten dazu
  54. muss der Sinus hier einfach nur verschwinden das heißt wir wenden den die Umkehrfunktion des Sinus an Sinus hoch -1 kann man das bezeichnen oder
  55. arkusinus das löst auf der linken Seite den Sinus auf da steht dann nur noch unser Winkel so wie wir es wollen und in Taschenrechner tippt ihr dann den Sinus
  56. hoch -1 von diesem ganzen Bruch rein also den tippt ihr einfach genauso schön mit einer Klammer in den Taschenrechner ein und wenn ihr das macht müsstet ihr
  57. einen Winkel von 19,3° erhalten wenn ihr das auf eine nachkommerstelle rundet das war die Art wie man vorgeht wenn man die Ebene in
  58. Parameterform gegeben hat schneller geht es falls eure Ebene schon in Koordinatenform gegeben ist denn die Formel bleibt dieselbe wie eben auch wir
  59. nehmen für den Vektor a den Richtungsvektor der Geraden so wie eben auch und für den Vektor B den normalen Vektor der Ebene so wie eben auch aber
  60. der Normalenvektor ist hier viel schneller zu berechnen denn man kann ihn einfach ablesen die xkoordinate ist einfach die
  61. Zahl die hier vor dem X steht das ist die 2 die ykoordinate ist einfach die Zahl die vor dem y hier steht das ist eine -1 wenn da keine Zahl dann zu sehen
  62. ist und die z-Koordinate ist hier eine + 3 also landet die 3 hier drin und damit haben wir unseren normalen Vektor schon gefunden und müssen den nicht extra
  63. berechnen mit dem Kreuzprodukt also das ist die schnellere Variante ihr könnt ja gerne mal jetzt den Winkel zwischen der Geraden und dieser Ebene hier bestimmen
  64. euer Ergebnis in die Kommentare schreiben ich bin gespannt ob wir ein einheitliches Ergebnis finden dann hoffe ich dass es euch geholfen hat falls ihr
  65. Fragen habt schreibt sie gerne in die Kommentare ansonsten habt noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video macht's gut

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