Winkel zwischen Ebene und Gerade – Analytische Geometrie
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=R6CzF989qOo

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo ihr Lieben heute möchte ich euch zeigen wie man den Winkel zwischen einer Ebene und einer Geraden berechnen kann das ganze schauen wir uns in zwei Fällen
0:09 an im ersten Fall ist unsere Ebene in Parameterform gegeben und im zweiten Fall bekommen wir unsere Ebene in Koordinatenform lass uns mal mit dem
0:18 ersten Fall starten bestimme den Schnittwinkel zwischen der gerade und der Ebene unsere Gerade g ist hier mit dieser Gleichung gegeben und die
0:29 ebenenleich hier bekommen wir in Parameterform im ersten Fall wir sollen jetzt den Winkel zwischen diesen beiden Objekten
0:37 bestimmen das heißt wenn wir das mal aufzeichnen hier unsere Ebene die wird geschnitten von dieser Geraden und dann geht es uns um diesen Schnittwinkel hier
0:47 den nenne ich mal Alpha der hier zwischen der Ebene und der Geraden verläuft und ihr kennt vielleicht die Formel dafür wie man zwischen zwei
0:56 Geraden den Schnittwinkel berechnen kann die Formel für ebene und gerade ist sehr ähnlich bis auf eine Änderung und zwar startet das ganze mit Sinus von Alpha
1:10 ist jetzt kommt ein Bruch in den Zähler kommt der Betrag von zwei Vektoren A und B die miteinander multipliziert werden und im Nenner wiederholen sich diese
1:21 beiden Vektoren aber wir nehmen den Betrag des Vektors a und multiplizieren das mit dem Betrag vom Vektor B das ist ist die Formel um unseren Winkel Alpha
1:33 zu berechnen jetzt ist nur die Frage welche Vektoren wandern denn hier jetzt in die Formel rein was ist a was ist B als a können wir den Richtungsvektor von
1:44 unserer geraden nehmen das heißt der Vektor hier der bei dem Buchstaben steht das ist unser Richtungsvektor das wenn wir den mal hier einzeichnen der Vektor
1:54 der sagt in welche Richtung unsere gerade läuft den nehmen wir als A und der Vektor B das wird der normalen vktor von unserer Ebene werden das heißt
2:08 der Normalenvektor ist immer der Vektor der senkrecht auf unserer Ebene steht und diesen normalenveektor müssen wir jetzt finden dadurch dass unsere Ebene
2:19 in Parameterform gegeben ist hier in dem ersten Fall können wir den normalen Vektor nicht direkt angeben den müssen wir erst berechnen und zwar können wir
2:27 das machen aus den beiden Richtungsvektor en einmal hier bei den Buchstaben und hier bei dem anderen Buchstaben das sind unsere beiden
2:34 Richtungsvektoren von unserer Ebene wenn wir die nehmen und das Kreuzprodukt aus den beiden bilden dann erhalten wir den gewünschten normalen Vektor den wir hier
2:44 für unsere Formel brauchen also das erste was wir machen ist diesen normalen Vektor berechnen also schnappen wir uns unsere Ebene und bilden das Kreuzprodukt
2:54 aus dem einen Richtungsvektor das wird gekreuzt mit dem anderen Richtungsvektor und das müssen wir jetzt einfach nur berechnen
3:04 dabei geht man ja so vor dass man die beiden Vektoren einfach noch mal untereinander schreibt damit man das ein bisschen leichter hat bei den
3:12 Berechnungen gleich dann streicht man die erste Zeile und die letzte Zeile und jetzt wird über Kreuz multipliziert erste Zeile hier wird
3:23 multipliziert mit der zweiten Zeile und dann wird hier so rum multipliziert das heißt wir halten -2 x 2 schreiben wir es erstmal so ganz ausführlich auf dann
3:35 macht man immer Minus und jetzt eben das andere gekreuzte hier -1 mal -1 also die Einträge werden immer miteinander multipliziert berechnen wir gleich was
3:46 da rauskommt zweite Koordinate geht es weiter mit dieser Kreuzung hier also -1 mal 0 Null sind immer ganz schön und dann 1 x 2 und die letzte Koordinate
4:05 werden diese Zahlen hier gekreuzt das heißt wir haben 1 x [Musik] 1 und dann kmer Minus und - 2 x 0 sehr
4:18 schön das rechnen wir aus und erhalten für unseren Normalvektor -2 x 2 S -4 -1 x -1 S 1 also erste Koordinate ist
4:33 -5 zweite Koordinate -1 x 0 fällt weg -1 x 2 sind dann nur -2 und hier haben wir 1 mal -1 ist -1- okay 0 kommen hier hinten also
4:47 insgesamt -1 das hier ist unser Normalenvektor n den habe ich jetzt mal noch mal hier auf die Seite geschrieben wir haben ja
4:56 unseren Vektor a schon gefunden das ist der der Richtungsvektor den haben wir grün markiert von unserer geraden den markiere ich hier auch mal noch mal grün
5:05 der wandert hier für das a rein und für das B das Orange da haben wir den normalen Vektor gesucht und den haben wir jetzt gefunden und der wird hier
5:15 reinkommen für das B dann können wir den auch umbenennen nicht mehr n als normalen Vektor sondern das ist eben unser B dann packen wir die Sachen jetzt
5:23 mal hier rein vielleicht Stück für Stück also wir kümmern uns erstmal um den Teil im Zähler und berechnen das Skalarprodukt aus A und B und bilden
5:34 danach den Betrag davon das machen wir jetzt mal hier auf dieser Seite das heißt betragstrich Vektor a schnappen wir uns
5:42 alles klar haben wir wird multipliziert mit unserem Vektor B den nehmen wir uns auch hierher und dann Betragsstriche am Ende noch mal zu sozusagen und jetzt
5:55 werden diese beiden Vektoren miteinander multipliziert indem man die die ersten beiden Koordinaten miteinander multipliziert einmal
6:03 -5 ich schreib es erstmal so ausführlich auf dann kommt immer ein Plus dann daselbe mit der zweiten Koordinate -1 wird multipliziert mit
6:15 -2 dann kommt wieder ein Plus und dasselbe mit den dritten Koordinaten 3 wird multipliziert mit -1 betragstrich zu und das muss jetzt nur noch
6:26 ausgerechnet werden 1 mal -5 sind - 5 -1* -2 sind 2 also + 2 3* -1 sind -3 also +-3 wird zu -3 das heißt wir haben hier drin -5 + 2
6:48 sind erstmal -3 und -3 kommt dann noch dazu -3 mal nicht mal sondern -3 -3 sind dann -6 hier als Ergebnis was machen wir mit
7:01 den betragsstrichen die sagen uns egal was hier drin steht vom Vorzeichen das Ergebnis wird immer positiv also hier steht zwar -6 drin
7:11 aber die Betragsstriche machen da draus ein eine se wenn hier jetzt schon nur eine 6 gestanden hätte dann schreibt ihr auch einfach eine se hin aber sobald ein
7:19 Minus hier drin ist lasst ihr das weg wenn ihr die Betragsstriche anwendet das heißt unser Ergebnis für den Teil hier ist einfach nur se das können wir dann
7:29 in die die Formel hier für den Zähler reinschreiben also Links haben wir den Sinus von Alpha und rechts auf unseren Bruch haben wir im Zähler eine se stehen
7:39 dann müssen wir die Teile aus dem Nenner berechnen einmal den Betrag von A und einmal den Betrag von B das machen wir mal auf der nächsten Seite um den Betrag
7:48 eines Vektors zu berechnen macht man eine große Wurzel und quadriert jetzt die einzelnen Koordinaten das heißt die 1 wird quadriert plus die nächste
8:00 Koordinate ist eine -1 wird quadriert plus die nächste Koordinate ist die 3 auch das wird quadriert und das jetzt nur noch ausgerechnet was haben wir
8:09 unser unter unserer Wurzel stehen 1 zum quadr ist 1 -1 Z quadr ist auch 1 13 qu sind 9 wenn wir das Ausrechnen kommen wir auf Wurzel von 11 das ist der Betrag
8:24 des ersten Vektors und das könnt ihr auch ruhig so stehen lassen das Tippen wir einfach dann gleich in den Taschenrechner
8:30 für unseren Vektor B genau dasselbe eine große Wurzel und jede Koordinate wird quadriert also die -5 wird quadriert + die -2 wird quadriert + die -1 wird
8:45 quadriert das wird jetzt nur noch ausgerechnet dann haben wir -5 Z quadr sind 25 2 zum qur sind 4 und hier hinten -1 Z qu
8:57 sind 1 also insgesamt wen wir das Ausrechnen 25 + 4 + 1 sind 30 also Wurzel von 30 das habe ich jetzt mal noch mal hier hineschrieben und die
9:07 beiden Ergebnisse wandern in unsere Formel rein also hier für den Betrag des Vektors a schreiben wir Wurzel von 11 rein und das wird multipliziert mit der
9:17 Wurzel von 30 und dann haben wir jetzt alles was wir brauchen in unserer Gleichung hier drin Alpha ist das einzige was unbekannt ist und das
9:27 wollten wir herausfinden ne den Winkel zwischen unserer Ebene und unserer geraden falls ihr euch noch erinnert was wir hier eigentlich machen wollten dazu
9:35 muss der Sinus hier einfach nur verschwinden das heißt wir wenden den die Umkehrfunktion des Sinus an Sinus hoch -1 kann man das bezeichnen oder
9:44 arkusinus das löst auf der linken Seite den Sinus auf da steht dann nur noch unser Winkel so wie wir es wollen und in Taschenrechner tippt ihr dann den Sinus
9:54 hoch -1 von diesem ganzen Bruch rein also den tippt ihr einfach genauso schön mit einer Klammer in den Taschenrechner ein und wenn ihr das macht müsstet ihr
10:07 einen Winkel von 19,3° erhalten wenn ihr das auf eine nachkommerstelle rundet das war die Art wie man vorgeht wenn man die Ebene in
10:17 Parameterform gegeben hat schneller geht es falls eure Ebene schon in Koordinatenform gegeben ist denn die Formel bleibt dieselbe wie eben auch wir
10:27 nehmen für den Vektor a den Richtungsvektor der Geraden so wie eben auch und für den Vektor B den normalen Vektor der Ebene so wie eben auch aber
10:39 der Normalenvektor ist hier viel schneller zu berechnen denn man kann ihn einfach ablesen die xkoordinate ist einfach die
10:47 Zahl die hier vor dem X steht das ist die 2 die ykoordinate ist einfach die Zahl die vor dem y hier steht das ist eine -1 wenn da keine Zahl dann zu sehen
10:58 ist und die z-Koordinate ist hier eine + 3 also landet die 3 hier drin und damit haben wir unseren normalen Vektor schon gefunden und müssen den nicht extra
11:07 berechnen mit dem Kreuzprodukt also das ist die schnellere Variante ihr könnt ja gerne mal jetzt den Winkel zwischen der Geraden und dieser Ebene hier bestimmen
11:16 euer Ergebnis in die Kommentare schreiben ich bin gespannt ob wir ein einheitliches Ergebnis finden dann hoffe ich dass es euch geholfen hat falls ihr
11:23 Fragen habt schreibt sie gerne in die Kommentare ansonsten habt noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video macht's gut