Die Komplexen Zahlen - Einführung
Mathe - simpleclub
https://www.youtube.com/watch?v=42tddHQj3xk

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Ihr kennt das oder? Wenn man gladenlos überfordert ist, geht eine Mant ja praktisch die ganze Zeit so. Man guckt zwar wüssend, aber hat keinen Plan, was
0:07 abgeht. Und dann wollen wir hier auch noch was über komplexe Zahlen schwafeln, wo Mathe ja eh schon schwer ist. Kein Stress, die sind echt einfach und geil.
0:15 So geil wie Mathe halt sein kann. [Musik] Wir wollen euch heute erklären, was die komplexen Zahlen so sind und was die
0:26 können. Dazu fangen wir mal ganz von vorne an. Bisher haben wir doch immer einen Riesenbogen um Wurzeln von negativen Zahlen gemacht. Jetzt nicht
0:33 mehr. Wir definieren definieren wir definieren uns nämlich einfach eine neue Zahl. I, die imaginäre Zahl. Und wie als die Wurzel von -1.
0:45 I können wir nicht ausrechnen mit den Zahlen, die wir kennen. Ist aber auch wurscht, wollen wir gar nicht. Was aber geil ist, man kann trotzdem mit i
0:51 rechnen. Quadrieren z.B. Das ergibt dann -1 oder hoch 3 nehmen. i hoch 3 können wir nämlich auch als i* i² schreiben und i² war ja -1, also gibt das im gesamten
1:04 - i oder hoch 4. Wenn ihr das aufteilt, gibt's -1* -1, also 1. So geht's mit hoch 5 und so natürlich immer weiter. Man kann auch teilen, weil 1 ja i hoch 4
1:15 ist, ist 1 dur i, i hoch 4 dur i und das ist i hoch 3. i hoch 3 kennen wir schon, das war -1. Klasse. Man kann jetzt aber mit I auch ganz neue Zahlen definieren.
1:27 Die komplexen Zahlen. Wer hat's gedacht? Für komplexe Zahlen nimmt man irgendeine reelle Zahl A und eine andere reelle Zahl B. Die werden dann so addiert. Zu A
1:37 add addiert ihr I mal b. C haben wir die Zahl mal genannt, weil sie komplex ist. Die komplexen Zahlen haben auch ihren eigenen Buchstaben. So ein C mit
1:45 Doppelstrich. Wenn ihr für B 0 einsetzt, kriegt ihr natürlich für Celle Zahl raus. Die reellen Zahlen sind also in den Komplexen mit drin enthalten. Die
1:54 Teile A und B haben auch einen Namen. A ist der Realteil, weil das der Teil ist, der reell ist. Verdammt's. B ist der Imaginärteil, weil der dafür sorgt, dass
2:03 C eine komplexe Zahl ist, weil I halt eine imaginäre Zahl ist, die es nicht gibt. Komplexe Zahlen stellt nun meistens in so einem Graf da, wo die
2:11 Achse nach oben den Imaginärteil, die Achse nach rechts den Realteil angibt. Z.B. Die Zahl hier 2 + 3 I Realteil wäre die 2, Imaginärteil die 3. Deshalb sieht
2:23 das Ganze so aus. Grün der Imaginärteil, orange der Realteil. Das rote Kreuz ist dann die Zahl. Die Linien haben wir mal hingemacht, damit eure vom Suf getrübten
2:32 Augen die Punkte noch sehen. Jetzt gucken wir mal die Zahl I an, die wäre das blaue Kreuz. Ifach 0 + I* 1. Imaginärteil ist 1, Realteil 0 und
2:43 voila. Im Prinzip könnt ihr euch die komplexe Zahl also immer als Vektor mit zwei Komponenten denken. Die reelle und die imaginäre Komponente. Jibt natürlich
2:52 wie bei jedem Vektor auch einen Betrag, also die Länge vom Ursprung bis zum Punkt, also die Länge von dem weißen Pfeil hier. Aber wie berechnet man den
2:59 Betrag bei einer komplexen Zahl? Ganz einfach, wie bei jedem anderen Vektor auch. Erst quadriert ihr die beiden Komponenten, dann addiert ihr das, dann
3:08 zieht ihr die Wurzel. Könnt es auch gerne nachmessen, wenn ihr Bock habt. Ein ganz einfaches Prinzip noch vom Namen der nicht schcken lassen. Die
3:14 komplexe Konjugation. Klingt erstmal mega behindert, aber ist auch voll easy. Ihr setzt in eurer komplexen Zahl dann einfach für alle I ein - I ein, also so
3:23 wie hier. Und weil man nicht jedes Mal so ein blödes Konjugiert unten dran schreiben will, wird das komplex konjugierte so geschrieben mit so einem
3:30 Strich drüber. Die komplexe Konjugation spiegelt euch also praktisch eure Zahl an der reellen Achse, also der nach rechts. Wenn wir also wieder die Zahl 1
3:39 + 3i nehmen, sieht das so aus. Das rote Kreuz ist immer noch die normale Zahl. Der rote Punkt ist die konjugierte Zahl 1 - 3e, also einfach der weiße Pfeil
3:49 nach unten gespiegelt. Wirkt erstmal unnötig, wird aber später bei den Rechnungen mit den komplexen Zahlen manchmal echt wichtig. J. Was müsst ihr
3:56 euch jetzt merken? Erstens, die Wurzel von -1 ist die imaginäre Zahl I. Zweitens, jede komplexe Zahl hat einen Realteil und einen Imaginärteil, beides
4:06 kann aber null sein. Drittens, man kann komplexe Zahlen in einem Graf darstellen. Viertens, der Betrag von komplexen Zahlen wird wie bei Vektoren
4:14 berechnet. Fünftens, wenn man alle I durch - I ersetzt, hat man das komplex konjugierte. Und wer sich fragt, was der ganze Rotz mit dem Konjugiert sein soll,
4:23 der zieht sich einfach das Video hier rechts rein. Da geht's direkt weiter mit den komplexen Zahlen. Haut rein und macht's gut. Co?