Fläche von Parallelogramm und Dreieck mit Vektorprodukt (Kreuzprodukt) bestimmen
Mathehoch13
https://www.youtube.com/watch?v=3IiWCeRucFc

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo zu diesem zweiten Video zu Anwendungen des vektorprodukts in diesem Video lernst du wie man mit Hilfe des vektorprodukts ganz einfach den
0:09 Flächeninhalt eines Parallelogramms oder eines Dreiecks bestimmen kann und wir sehen dass es eine ganz schöne Methode ist weil sie in der Regel einfacher und
0:17 schneller als die Berechnung über die klassischen flächenformeln aus der Mittelstufe ist im ersten Video dieser Serie hast du
0:26 ja gelernt dass man mit Hilfe des vektorprodukts oder Kreuz Produkts einen Vektor berechnen kann der gleichzeitig senkrecht zu diesen beiden Vektoren
0:37 steht aber was wir damals noch nicht besprochen haben ist dass eine interessante Beziehung zwischen der Länge dieses Vektors n also dem normalen
0:47 Vektor und dem Flächeninhalt des die Vektoren A und B aufgespannten Parallelogramms besteht und zwar gilt dass der flächeninhaltswert des durch
0:59 die Vektoren A und B aufgespannten Parallelogramms dem längenwert also den Betrag des vektorprodukts von A und B entspricht mit anderen Worten beträgt
1:12 die von A und B aufgespannte parallelogrammfläche z.B fünf Flächeneinheiten so ist die Länge des kreuzproduktvektors fünf
1:23 Längeneinheiten allgemein gilt also die Fläche a des Parallelogramms ist der
1:31 Betrag des vektorprodukts von A Kreuz B dieses Parallelogramm wird natürlich durch die beiden Vektoren A und B aufgespannt aber A und B definieren auch
1:43 eindeutig ein Dreieck so wie hier dargestellt und dieses Dreieck was von A und B aufgespannt wird hat die Hälfte des flächcheninhalts des gesamten
1:56 Parallelogramms daher kann man auch sagen die von A und B aufgespannte Dreiecksfläche entspricht
2:04 ein/b mal den Betrag des vektorprodukts von A und B schauen wir uns zwei Beispiele an in diesem ersten Beispiel sollen wir den
2:14 Flächeninhalt des Parallelogramms berechnen das durch die Vektoren A und B aufgespannt wird hier haben wir die Vektoren A und B und gemäß dem eben
2:24 Gesagten müssen wir das ja berechnen wobei A K B das Vektorprodukt von A und B ist es ist sogar egal ob wir a kuz B oder B K a berechnen weil der
2:36 ergebnisvektor hätte einfach nur umgekehrte Vorzeichen bei den Koordinaten von der Länge aber also dem Betrag wäre dieser trotzdem gleich lang
2:47 okay für unser Problem müssen wir also jetzt a Kre B rechnen und das schreibe ich jetzt hier erstmal als Nebenrechnung und das können wir mit der
2:55 schnellmethode aus dem ersten Video berechnen wir schreiben die Vektoren also zweimal untereinander streichen die oberste und unterste Zeile durch
3:04 Zeichnen dann unser schnürsenkelmuster ein und rechnen das Vektorprodukt aus was sich zu 3 5 - 8 ergibt jetzt müssen wir noch den Betrag
3:18 dieses kreuzproduktes bestimmen und dazu nehmen wir die betragsformel mit der man die Länge
3:27 eines Vektors bestimmt und das ist jetzt diese wurzelformel wobei jede Koordinate quadriert wird also 3 qu + 5 qu +- 8 qu das ergibt urel
3:43 98 und das ist genähert 9,90 als Antwortsatz kann man sagen der Flächeninhalt des durch A und B aufgespannten Parallelogramms beträgt
3:53 ungefähr 9,90 Flächeneinheiten so schauen wir uns auch dieses zweite Beispiel an berechnen den Flächeninhalt des durch die Punkte ABC
4:02 gegebenen Dreiecks und dann haben wir hier die Punkte gegeben und dieses Dreieck liegt ja irgendwie im Raum aber wir können uns dieses Dreieck
4:10 aufgespannt vorstellen durch die Vektoren ab und AC und für den Flächeninhalt gilt dann ja dass dieser ein halb mal ab Kre AC
4:25 ist als Nebenrechnung müssen wir eben ab und AC berechnen wir rechnen ja immer spitze Fuß bei diesem Vektor ist B die Spitze
4:36 also -2 1 3 -- 102 das liefert -3 1 1 und AC berechnen wir analog dann bekommen wir das raus
4:51 jetzt berechnen wir das Kreuzprodukt oder das Vektorprodukt und um das auszurechnen benutzen wir wieder unsere stuhsenkelmethode und so erhalten wir -3
5:01 - 2 - 7 das tragen wir jetzt hier unten ein so und jetzt wenden wir wieder unsere wurzelformel an zur Berechnung dieses Betrags also ein/b mal die Wurzel
5:14 von -3² + -2² + -7² das liefert 1/b mal √ 62 und das ist näherungsweise 3,94 also könnten wir den Antwortsatz
5:28 formulieren dass du durch die Punkte A B C aufgespannte Dreieck hat einen Flächeninhalt von ungefähr 3,94
5:37 Flächeneinheiten so ich hoffe du hast verstanden wie man jetzt mit Hilfe des vektorprodukts sehr einfach den Flächeninhalt von Parallelogramm und
5:45 Dreieck bestimmen kann und das Schöne ist eben halt hier können wir direkt mit den Koordinaten bzw mit den Vektoren arbeiten und wir müssen z.B beim Dreieck
5:54 nicht zuerst diese Höhe über dieser Grundseite bestimmen sondern wir schmeißen mehr oder weniger die Koordinaten in die Formeln rein und
6:03 können direkt den Flächeninhalt berechnen wenn es dir gefallen hat gib mir doch einen Daumen hoch und wenn du denkst dass deine Freunde und Mitschüler
6:11 auch gefallen dran hätten dann empfihl mich doch bitte weiter und dann sehen wir uns beim nächsten Video bis dahin alles Gute
6:28 tschüss [Musik]