Mathematik · Klasse 11–12 · aktualisiert
Wurzeln ableiten: Potenzregel und Kettenregel
Wurzeln leitest du ab, indem du sie als Potenz schreibst. Du lernst Potenz- und Kettenregel für Wurzeln und wo die Ableitung gilt.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Eine Wurzel leitest du ab, indem du sie als Potenz schreibst: \sqrt{x}=x^{\frac12}, also (\sqrt{x})'=\frac12x^{-\frac12}=\frac{1}{2\sqrt{x}} für x>0. Steht ein Term unter der Wurzel, multiplizierst du mit der inneren Ableitung: \left(\sqrt{g(x)}\right)'=\frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}.
Eine Wurzel leitest du am sichersten ab, indem du sie als Potenz mit rationalem Exponenten schreibst. Dann verwendest du die Potenzregel; steht unter der Wurzel ein ganzer Funktionsterm, kommt die Kettenregel hinzu.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Der entscheidende Schritt ist das Umschreiben. Für einen Ausdruck u gilt im reellen Definitionsbereich: \sqrt[n]{u}=u^{\frac{1}{n}} Für x>0 kannst du daher auch schreiben: \sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}} Die Bedingung ist wichtig: Zum Beispiel gilt \sqrt{x^2}=|x| und nicht für alle reellen Zahlen einfach x. Der Bruch im Exponenten heißt rationaler Exponent. Bei einer Quadratwurzel ist n=2: \sqrt{x}=x^{\frac12} Danach gilt die Potenzregel: Du multiplizierst mit dem Exponenten und verringerst den Exponenten um 1.
Definition
Rationaler Exponent
Ein rationaler Exponent ist ein Bruch im Exponenten. Für x>0 gilt \sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}: Der Exponent unter der Wurzel steht oben, der Wurzelgrad unten.
Beispiel: f(x)=\sqrt{x} ableiten
- 1Als Potenz schreiben: f(x)=x^{\frac12}
- 2Potenzregel: f'(x)=\frac12x^{\frac12-1}=\frac12x^{-\frac12}
- 3Negativer Exponent heißt Kehrwert: f'(x)=\frac12\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}
- 4Die Ableitungsformel gilt für x>0.
Merke: Erst Wurzel in Potenz umschreiben, dann den Exponenten nach der Potenzregel bearbeiten.
Teste dich
Bei f(x)=\sqrt{g(x)} ist g(x) die innere Funktion. Die Wurzel ist die äußere Funktion. Du leitest außen ab und multiplizierst mit der inneren Ableitung g'(x): f'(x)=\frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}} Diese Formel verwendest du an Stellen, an denen g(x)>0 ist.
Beispiel: f(x)=\sqrt{2x} ableiten
- 1Innere Funktion: g(x)=2x, also g'(x)=2
- 2f'(x)=\frac{2}{2\sqrt{2x}}=\frac{1}{\sqrt{2x}}
- 3Der Faktor 2 aus der inneren Ableitung kürzt sich hier. Weglassen darfst du ihn aber nicht.
Beispiel: f(x)=\sqrt{x^4+1} ableiten
- 1Innere Funktion: g(x)=x^4+1, also g'(x)=4x^3
- 2f'(x)=\frac{4x^3}{2\sqrt{x^4+1}}=\frac{2x^3}{\sqrt{x^4+1}}
Teste dich
Für n\in\{2,3,4,\ldots\} schreibst du \sqrt[n]{x}=x^{\frac1n} und erhältst f'(x)=\frac1n x^{-\frac{n-1}{n}}=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}} Bei geradem n ist die Wurzel im Reellen nur für x\ge 0 definiert; die angegebene Ableitungsformel gilt für x>0. Bei ungeradem n sind auch negative Werte von x erlaubt; die Formel gilt für x\ne 0. An x=0 ist sie wegen des Nenners nicht anwendbar. Für \sqrt{x} existiert dort keine endliche Ableitung. Für eine höhere Wurzel mit innerer Funktion verbindest du wieder Potenz- und Kettenregel: \left(g(x)^{\frac1n}\right)'=\frac1n g(x)^{\frac1n-1}\cdot g'(x) Bei geradem n verwendest du diese Formel für g(x)>0. Nullstellen des Wurzelinhalts musst du gesondert untersuchen.
Beispiel: f(x)=\sqrt[3]{x^2} ableiten
- 1Als Potenz: f(x)=x^{\frac23}
- 2f'(x)=\frac23x^{-\frac13}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}
- 3Die 2 aus dem Zähler des Exponenten bleibt als Faktor erhalten.
- 4Das Ergebnis gilt für x\ne 0.
Teste dich
Die meisten Fehler passieren an drei Stellen: an der Klammer, am Exponenten und bei der inneren Ableitung. Der vollständige Wurzelinhalt wird zur Basis der Potenz, bei \sqrt{x^2+1} also (x^2+1)^{\frac12} und nicht x^2+1^{\frac12}. Ein negativer Exponent macht den Funktionswert nicht automatisch negativ. Er bedeutet einen Kehrwert: a^{-r}=\frac{1}{a^r}, sofern der Ausdruck definiert und a\ne 0 ist.
Merke: Prüfe jede Wurzelableitung dreimal: Klammer (der ganze Wurzelinhalt ist die Basis), Exponent (wirklich 1 abgezogen?) und innere Ableitung (steht g'(x) als Faktor da?).
Teste dich
Alles auf einen Blick
Wurzel ableiten
Umschreiben
\sqrt[n]{u}=u^{\frac1n}, zum Beispiel \sqrt{x}=x^{\frac12}
Potenzregel
Exponent als Faktor nach vorn, dann um 1 verringern: (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}
Kettenregel
\left(\sqrt{g(x)}\right)'=\frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}
Geltungsbereich
bei geradem n für x>0, bei ungeradem für x\ne 0
Prüfen
Klammer, Exponent und innere Ableitung kontrollieren
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Steigung von f(x)=\sqrt{x^2+9} an der Stelle x=4
- 1Innere Funktion: g(x)=x^2+9, also g'(x)=2x
- 2f'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+9}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}
- 3f'(4)=\frac{4}{\sqrt{16+9}}=\frac{4}{\sqrt{25}}=\frac{4}{5}=0{,}8
- 4Die Tangente an der Stelle x=4 hat die Steigung 0{,}8.
Fehler finden
f(x)=\sqrt{3x+1} ableiten In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Die innere Ableitung 3 fehlt. Richtig: f'(x)=\frac12(3x+1)^{-\frac12}\cdot 3=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Vor dem Ableiten schreibst du \sqrt{x} als . Bei der Potenzregel wird der Exponent um 1 . Bei \sqrt{g(x)} multiplizierst du zusätzlich mit der Ableitung.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback