Mathematik · Klasse 12 · aktualisiert
Tangens ableiten: Formel, Herleitung und Kettenregel
Die Ableitung des Tangens ist 1 durch Kosinus im Quadrat. Du lernst, die Formel herzuleiten und mit Ketten-, Faktor- und Produktregel anzuwenden.
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Kurz gesagt
Die Ableitung von f(x)=\tan(x) ist f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}=1+\tan^2(x), gemessen im Bogenmaß und überall dort, wo \cos(x)\ne0 ist. Steht im Tangens eine innere Funktion, multiplizierst du mit ihrer Ableitung: (\tan(5x))'=\frac{5}{\cos^2(5x)}.
Die Ableitung von f(x)=\tan(x) lautet f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}=1+\tan^2(x). Diese Formel gilt an allen Stellen, an denen der Tangens definiert ist. Winkel werden beim Ableiten im Bogenmaß betrachtet. Du lernst nun, die Formel zu begründen und auf verkettete Funktionen sowie Produkte anzuwenden.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Für die Grundfunktion f(x)=\tan(x) ist die Ableitung f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}. Dabei bedeutet \cos^2(x) dasselbe wie (\cos(x))^2. Eine gleichwertige Schreibweise ist f'(x)=1+\tan^2(x). Der Tangens ist nicht definiert, wenn \cos(x)=0. Deshalb sind die Stellen x=\frac{\pi}{2}+k\pi\quad\text{mit }k\in\mathbb{Z} ausgeschlossen. Dort ist auch die Tangensableitung keine Steigung der Ausgangsfunktion.
Definition
Ableitung des Tangens
Für alle x mit \cos(x)\ne0 gilt (\tan(x))'=\frac{1}{\cos^2(x)}=1+\tan^2(x). Dabei wird x im Bogenmaß gemessen.
Merke: Die Ableitung des Tangens ist positiv, wo sie definiert ist: Ein Quadrat kann nicht negativ sein, und sein Kehrwert ist positiv.
Teste dich
Der Tangens lässt sich als Quotient schreiben: \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}. Für einen Quotienten \frac{u}{v} gilt die Quotientenregel: \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}. Setze u(x)=\sin(x) und v(x)=\cos(x). Das Minus vor dem zweiten Produkt und das Minus aus der Kosinusableitung ergeben ein Plus. Mit dem trigonometrischen Pythagoras \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 wird der Zähler zu 1.
Beispiel: Herleitung von (\tan(x))'
- 1u(x)=\sin(x), also u'(x)=\cos(x)
- 2v(x)=\cos(x), also v'(x)=-\sin(x)
- 3(\tan(x))'=\frac{\cos(x)\cdot\cos(x)-\sin(x)\cdot(-\sin(x))}{\cos^2(x)}
- 4=\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac{1}{\cos^2(x)}
- 5Teilst du den Zähler einzeln durch \cos^2(x), erhältst du 1+\tan^2(x).
Teste dich
Steht im Tangens nicht nur x, sondern eine innere Funktion g(x), brauchst du die Kettenregel: f(x)=\tan(g(x)) führt zu f'(x)=\frac{g'(x)}{\cos^2(g(x))}. Du leitest also außen den Tangens ab, lässt dabei g(x) im Kosinus stehen und multiplizierst mit der inneren Ableitung g'(x). Ein konstanter Vorfaktor bleibt beim Ableiten erhalten. Bei einem Produkt brauchst du zusätzlich die Produktregel (u\cdot v)'=u'v+uv'.
Beispiel: f(x)=\tan(3x^2-4) ableiten
- 1Innere Funktion: g(x)=3x^2-4, also g'(x)=6x
- 2f'(x)=\frac{6x}{\cos^2(3x^2-4)}
- 3Der Faktor 6x ist nötig, weil sich auch das Argument 3x^2-4 verändert.
Beispiel: f(x)=2\tan(5x) ableiten
- 1Der Faktor 2 bleibt stehen, die innere Ableitung von 5x ist 5.
- 2f'(x)=2\cdot\frac{5}{\cos^2(5x)}=\frac{10}{\cos^2(5x)}
Beispiel: f(x)=x^2\tan(x) mit der Produktregel ableiten
- 1u(x)=x^2, also u'(x)=2x
- 2v(x)=\tan(x), also v'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}
- 3f'(x)=2x\tan(x)+\frac{x^2}{\cos^2(x)}
- 4Im ersten Summanden wird x^2 abgeleitet, im zweiten der Tangens.
Teste dich
Achte besonders auf diese Fehler: Innere Ableitung vergessen: Aus \tan(g(x)) wird nicht nur \frac{1}{\cos^2(g(x))}, sondern \frac{g'(x)}{\cos^2(g(x))}. Argument verändern: Das vollständige Argument bleibt beim äußeren Ableiten erhalten. Quadrat vergessen: Im Nenner steht \cos^2(x), nicht nur \cos(x). Gradmaß verwenden: Die angegebene Standardformel setzt das Bogenmaß voraus. Definitionslücken übersehen: Eine Ableitungsformel darf nur dort als Steigung gedeutet werden, wo die Ausgangsfunktion definiert ist.
Merke: Außen ableiten, das ganze Argument im Kosinus stehen lassen, mit der inneren Ableitung multiplizieren. Im Nenner steht immer das Quadrat des Kosinus.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Tangens ableiten
Grundformel
\frac{1}{\cos^2(x)}=1+\tan^2(x)
Herleitung
Tangens als Sinus durch Kosinus, Quotientenregel und \sin^2(x)+\cos^2(x)=1
Verkettung
äußere Tangensableitung mal innere Ableitung g'(x)
Regelkombinationen
Faktorregel und Produktregel
Gültigkeit
Bogenmaß und Ausschlussstellen des Tangens
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Steigung von f(x)=\tan(2x) an der Stelle x=0
- 1Innere Funktion 2x, innere Ableitung 2
- 2f'(x)=\frac{2}{\cos^2(2x)}
- 3f'(0)=\frac{2}{\cos^2(0)}=\frac{2}{1}=2
- 4Der Graph steigt im Ursprung mit der Steigung 2.
Fehler finden
f(x)=\tan(3x) ableiten und f'(0) berechnen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Die innere Ableitung 3 fehlt. Richtig ist f'(x)=\frac{3}{\cos^2(3x)} und damit f'(0)=\frac{3}{1}=3.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Schreibt man den Tangens als Quotient, steht im Nenner der . Beim Ableiten des Kosinus entsteht ein . Der Ausdruck \sin^2(x)+\cos^2(x) wird zu vereinfacht.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback