Bernoulli-Experiment und Bernoulli-Kette erklärt

Stell dir einen Würfelwurf vor. Notierst du die Augenzahl, gibt es sechs mögliche Ergebnisse. Fragst du nur „6 oder keine 6?“, bleiben genau zwei Ausgänge. Die Wahrscheinlichkeiten heißen p=P(\text{Treffer}) und q=P(\text{Nichttreffer})=1-p. Mit „6“ als Treffer ist p=\frac{1}{6} und q=\frac{5}{6}. Die beiden Ausgänge müssen nicht gleich wahrscheinlich sein: Fällt bei einer gezinkten Münze mit Wahrscheinlichkeit 0{,}7 Kopf, ist das mit Kopf als Treffer ein Bernoulli-Experiment mit p=0{,}7 und q=0{,}3. Mehrere Wiederholungen bilden aber nicht automatisch eine Bernoulli-Kette. Du prüfst vier Punkte: Jeder Versuch hat nur Treffer oder Nichttreffer. Die Anzahl n der Versuche steht fest. Die Trefferwahrscheinlichkeit p bleibt gleich. Die Versuche beeinflussen einander nicht. Ziehst du ohne Zurücklegen, ändert sich die Urne und damit meist auch p. Dann liegt keine Bernoulli-Kette vor.

Bei einer Bernoulli-Kette interessiert oft nicht die genaue Reihenfolge, sondern die Gesamtzahl der Treffer. Dafür brauchst du fünf Zeichen: n ist die Anzahl der Versuche, p die Trefferwahrscheinlichkeit pro Versuch, q=1-p die Nichttrefferwahrscheinlichkeit pro Versuch, k die betrachtete Trefferzahl und X die zufällige Anzahl aller Treffer. Lege immer zuerst fest, was als Treffer zählt, und berechne dann q=1-p.

Das feste Muster Kopf–Zahl–Zahl–Kopf ist nur eine mögliche Reihenfolge mit zwei Treffern. Bei vier Würfen gibt es weitere passende Muster, etwa Kopf–Kopf–Zahl–Zahl. Für ein bestimmtes Muster mit k Treffern und n-k Nichttreffern multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten entlang dieses einen Pfades: p^k q^{n-k}. Sind nur „genau k Treffer“ verlangt, dürfen die Treffer an beliebigen Stellen liegen. Die Anzahl der passenden Anordnungen ist der Binomialkoeffizient \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!} mit n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot 1.

Für eine Bernoulli-Kette gilt die Bernoulli-Formel: P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} Die drei Faktoren haben klare Aufgaben: \binom{n}{k} zählt die passenden Anordnungen, p^k beschreibt die k Treffer und (1-p)^{n-k}=q^{n-k} die übrigen Nichttreffer. Prüfe dein Ergebnis: Eine Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1, und X ist nie kleiner als 0 oder größer als n. Die Wahrscheinlichkeiten P(X=0), P(X=1), \ldots, P(X=n) bilden zusammen die Binomialverteilung, ihre Summe ist 1. Für „höchstens“ oder „mindestens“ addierst du mehrere dieser Werte.