Mathematik · Klasse 11–12 · aktualisiert
Summenregel beim Ableiten einfach erklärt
Mit der Summenregel leitest du eine Summe Glied für Glied ab. Du lernst, Faktoren, Vorzeichen und Konstanten richtig zu behandeln.
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Kurz gesagt
Die Summenregel sagt: Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen, (u+v)'=u'+v', und entsprechend (u-v)'=u'-v'. Du leitest also jedes Glied einzeln ab und behältst die Rechenzeichen. Aus f(x)=2x^3-4x^2+5x wird f'(x)=6x^2-8x+5.
Beim Ableiten einer Summe leitest du jeden Summanden einzeln ab. Plus- und Minuszeichen bleiben dabei erhalten. Die Summenregel zerlegt also eine lange Funktion in überschaubare Teile. Auf dieser Seite lernst du, die Summanden zu erkennen, sie mit der jeweils passenden Regel abzuleiten und typische Fehler zu vermeiden.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Der Ausdruck Summenregel hat in der Mathematik zwei verschiedene Bedeutungen: In der Differentialrechnung wird eine Summe gliedweise abgeleitet. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden die Wahrscheinlichkeiten mehrerer passender Ergebnisse oder Pfade addiert. Diese Seite behandelt vor allem die Summenregel beim Ableiten. Gehe bei einer Summe oder Differenz in vier Schritten vor: Trenne die Funktion an ihren Plus- und Minuszeichen in einzelne Glieder. Leite jedes Glied mit der passenden Ableitungsregel ab. Übernimm die Rechenzeichen. Vereinfache das Ergebnis. Für Potenzen brauchst du häufig zusätzlich die Potenzregel: (x^n)'=n x^{n-1} Steht ein konstanter Faktor vor einer Funktion, bleibt er nach der Faktorregel erhalten: (a u(x))'=a u'(x)
Definition
Summenregel der Differentialrechnung
Sind u und v differenzierbare Funktionen, dann gilt: (u+v)'=u'+v' Für eine Differenz gilt entsprechend: (u-v)'=u'-v'
Beispiel: Leite f(x)=2x^3-4x^2+5x ab.
- 1(2x^3)'=2\cdot3x^2=6x^2
- 2(-4x^2)'=-4\cdot2x=-8x
- 3(5x)'=5
- 4f'(x)=6x^2-8x+5
Merke: Die Summenregel sagt dir, welche Teile du getrennt behandelst. Die Potenz- oder eine andere Ableitungsregel sagt dir anschließend, wie du jeden Teil ableitest.
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Zwei Sonderfälle kommen besonders oft vor: Ein lineares Glied ax wird zu a, weil x'=1 gilt. Eine Konstante wird zu 0 und fällt im vereinfachten Ergebnis weg. Bei -x ist der unsichtbare Faktor -1 wichtig: (-x)'=(-1\cdot x)'=-1
Beispiel: Leite h(x)=\frac{1}{3}x^3+4x^2-x+5 ab.
- 1\left(\frac{1}{3}x^3\right)'=\frac{1}{3}\cdot3x^2=x^2
- 2(4x^2)'=8x
- 3(-x)'=-1
- 4(5)'=0
- 5h'(x)=x^2+8x-1
Teste dich
Die Summenregel funktioniert nicht nur bei Polynomen. Sie kann auch Glieder mit Wurzeln, Sinus, Cosinus, Exponential- oder Logarithmusfunktionen trennen. Für jedes Glied brauchst du danach seine eigene Ableitungsregel. Die wichtigsten stehen in der Tabelle. Die Bedingung x>0 ist wichtig: Zwar ist \sqrt{x} auch bei x=0 definiert, ihre Ableitung besitzt dort aber keinen endlichen Wert.
| Funktion | Ableitung | Bedingung |
|---|---|---|
| \sin x | \cos x | – |
| \cos x | -\sin x | – |
| e^x | e^x | – |
| \ln x | \frac{1}{x} | x>0 |
| \sqrt{x} | \frac{1}{2\sqrt{x}} | x>0 |
Beispiel: Leite q(x)=x^2+\sin x-e^x-5x^3 ab.
- 1Glieder: x^2, \sin x, -e^x und -5x^3
- 2(x^2)'=2x und (\sin x)'=\cos x
- 3(-e^x)'=-e^x und (-5x^3)'=-15x^2
- 4q'(x)=2x+\cos x-e^x-15x^2
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Prüfe deine Ableitung Glied für Glied. Vier Fragen helfen dir dabei: Habe ich wirklich jedes Glied abgeleitet? Ist jeder konstante Faktor erhalten geblieben? Habe ich alle Plus- und Minuszeichen übernommen? Sind konstante Glieder zu 0 geworden? Transfer: Ein Produkt wie t(x)=(4x^2+1)(3x-2) multiplizierst du zuerst aus: t(x)=12x^3-8x^2+3x-2. Danach leitest du gliedweise ab: t'(x)=36x^2-16x+3.
Beispiel: Leite s(x)=4x^4-3x^2+7x-6 ab und kontrolliere.
- 1(4x^4)'=16x^3
- 2(-3x^2)'=-6x
- 3(7x)'=7
- 4(-6)'=0
- 5s'(x)=16x^3-6x+7
- 6Kontrolle: vier Glieder behandelt, die Konstante ist als 0 weggefallen.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Summenregel
Zwei Bedeutungen
Ableitung oder Wahrscheinlichkeit
Regel
(u+v)'=u'+v' und (u-v)'=u'-v'
Zerlegen
die Funktion an Plus und Minus in Glieder teilen
Faktoren und Vorzeichen
bleiben beim Ableiten erhalten
Konstanten
werden zu 0
Kontrolle
jedes Glied einem Ableitungsglied zuordnen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Leite f(x)=3x^5-2x^3+4x-7 ab.
- 1(3x^5)'=15x^4
- 2(-2x^3)'=-6x^2
- 3(4x)'=4
- 4(-7)'=0
- 5f'(x)=15x^4-6x^2+4
Fehler finden
Leite f(x)=2x^4+3x^2-5x+8 ab. In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 4Eine Konstante hat die Ableitung 0. Richtig ist (8)'=0 und damit f'(x)=8x^3+6x-5.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Beim Ableiten einer Summe leitest du jedes Glied ab. Eine Konstante wird dabei zu . Einen konstanten Faktor wie die 3 in 3x^2 du.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback