Trassierung: Übergänge mit Polynomen berechnen

Links endet der Graph von g bei x_1, rechts beginnt der Graph von h bei x_2. Dazwischen suchst du eine Verbindungsfunktion f auf [x_1,x_2]. Die Bedingungen bauen aufeinander auf: Sprungfrei: An der Naht gibt es keine Lücke. Die Funktionswerte stimmen überein. Knickfrei: Zusätzlich zeigen die Tangenten in dieselbe Richtung. Die ersten Ableitungen stimmen überein. Im Schulmodell krümmungsruckfrei: Zusätzlich stimmen die zweiten Ableitungen überein.

Du übersetzt jede Anschlussforderung in eine Gleichung. Danach wählst du einen Ansatz mit genügend frei bestimmbaren Koeffizienten. Bei vier Bedingungen ist der Standardansatz: f(x)=ax^3+bx^2+cx+d Bei sechs Bedingungen verwendet man gewöhnlich: f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+k Der konstante Koeffizient heißt hier k, damit er nicht mit dem Funktionsnamen verwechselt wird. Die benötigten Ableitungen sind: f'(x)=5ax^4+4bx^3+3cx^2+2dx+e f''(x)=20ax^3+12bx^2+6cx+2d So gehst du vor: Berechne Werte und benötigte Ableitungen der Randfunktionen an x_1 und x_2. Formuliere alle Anschlussbedingungen. Setze das allgemeine Polynom und seine Ableitungen ein. Löse das lineare Gleichungssystem. Setze die Koeffizienten in den Ansatz ein. Prüfe jede Anschlussbedingung am fertigen Polynom. Die Gradangaben sind Standardansätze. Die Bedingungen müssen miteinander vereinbar und für eine eindeutige Lösung hinreichend unabhängig sein. Wird der höchste Koeffizient null, hat die Lösung tatsächlich einen niedrigeren Grad.

Links gilt g(x)=x^2-2 für x\le 0, rechts gilt h(x)=-1 für x\ge 2. Gesucht ist eine knickfreie Verbindung f auf [0,2]. Mit g'(x)=2x und h'(x)=0 erhältst du die Randdaten in der Tabelle. Daraus folgen vier Bedingungen: Links muss f den Wert -2 und die Steigung 0 haben, rechts den Wert -1 und die Steigung 0. Anschlussprobe: Die Ableitung der Lösung lautet f'(x)=-\frac34x^2+\frac32x. Am linken Rand gilt f(0)=-2 und f'(0)=0. Am rechten Rand gilt f(2)=-1 und f'(2)=0. Wert und Steigung stimmen an beiden Nahtstellen überein.

In vielen Schulaufgaben heißt die Übereinstimmung von f'' „krümmungsruckfrei“. Die geometrische Krümmung eines Graphen ist aber im Allgemeinen nicht einfach seine zweite Ableitung. Das zeigt y=x^2: Die zweite Ableitung ist überall 2, doch die geometrische Krümmung ist nicht überall gleich stark. Die Krümmung hängt nämlich auch von der Steigung f' ab. An einer knickfreien Naht stimmen die Steigungen aber schon überein: Dort bedeuten gleiche zweite Ableitungen tatsächlich auch gleiche Krümmung. Eine echte Verkehrswegplanung verbindet nicht bloß zwei Graphen durch ein beliebiges Polynom. Straßen und Gleise haben Breite; außerdem spielen beispielsweise Sicherheit, Gelände und Bauwerke eine Rolle. In der Praxis werden unter anderem Geraden, Kreisbögen und Klothoiden verwendet. Das Schulmodell bleibt nützlich, weil du daran Ableitungen, Randbedingungen und lineare Gleichungssysteme übst.