Mathematik · Klasse 11–12 · aktualisiert
Wendepunkt berechnen: Anleitung mit Beispielen
Du lernst, Wendepunkte mit der zweiten und dritten Ableitung zu berechnen, die Krümmungsrichtung zu deuten und Sattelpunkte zu erkennen.
0 von 9 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Einen Wendepunkt berechnest du so: Setze f''(x)=0 und löse nach x. Gilt am Kandidaten x_0 zusätzlich f'''(x_0)\neq0, ist es eine Wendestelle; die y-Koordinate ist f(x_0). Für f(x)=x^3-3x^2 ergibt das W(1\mid-2).
Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem der Graph von Links- zu Rechtskrümmung oder umgekehrt wechselt. Zum Berechnen suchst du zuerst Nullstellen der zweiten Ableitung, prüfst dort den Krümmungswechsel und bestimmst anschließend die y-Koordinate.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
3 Abschnitte
Stell dir den Graphen als Fahrspur vor: An einem Wendepunkt wechselst du von einer Rechtskurve in eine Linkskurve oder umgekehrt. Entscheidend ist also nicht, ob der Graph dort steigt oder fällt, sondern ob sich seine Krümmung ändert. Die zweite Ableitung zeigt die Krümmung.
Definition
Wendepunkt
Ein Wendepunkt W(x_0\mid y_0) ist ein Punkt des Graphen, an dem das Krümmungsverhalten wechselt. Die x-Koordinate x_0 heißt Wendestelle.
Merke: Eine Nullstelle von f'' reicht nicht aus. Ein Wendepunkt liegt erst vor, wenn f'' an dieser Stelle das Vorzeichen wechselt.
| Zweite Ableitung | Bedeutung |
|---|---|
| f''(x)>0 | Graph ist linksgekrümmt |
| f''(x)<0 | Graph ist rechtsgekrümmt |
| f''(x)=0 | nur ein Kandidat für eine Wendestelle |
Teste dich
Für ganzrationale Funktionen gehst du so vor: Berechne f''(x) und f'''(x). Löse f''(x)=0; die Lösungen sind Kandidaten x_0. Gilt f'''(x_0)\neq0, ist die Wendestelle bestätigt. Berechne dann y_0=f(x_0) und gib den Wendepunkt als W(x_0\mid y_0) an. Das Vorzeichen von f'''(x_0) zeigt auch die Richtung: Bei f'''(x_0)>0 wechselt der Graph von rechts- zu linksgekrümmt, bei f'''(x_0)<0 von links- zu rechtsgekrümmt. f''(x_0)=0 ist nur die notwendige Bedingung. Zusammen mit f'''(x_0)\neq0 ist sie hinreichend, erfasst aber nicht jeden Wendepunkt. Im Beispiel unten kannst du die Richtung auch direkt prüfen: f''(0)=-6<0 und f''(2)=6>0.
Beispiel: Wendepunkt von f(x)=x^3-3x^2
- 1f'(x)=3x^2-6x, f''(x)=6x-6, f'''(x)=6
- 26x-6=0 \Rightarrow x_0=1
- 3f'''(1)=6\neq0: Wendestelle, von rechts- zu linksgekrümmt
- 4f(1)=1^3-3\cdot1^2=-2
- 5W(1\mid-2)
Merke: Der Wendepunkt liegt auf dem Graphen von f. Seine y-Koordinate ist deshalb immer f(x_0), nie f''(x_0).
Teste dich
Bei f(x)=x^5 erhältst du f''(x)=20x^3,\qquad f'''(x)=60x^2. Aus f''(x)=0 folgt x_0=0, aber auch f'''(0)=0. Der Test mit der dritten Ableitung bleibt also offen. Die Vorzeichenprobe entscheidet: f''(-0{,}5)=-2{,}5<0 f''(0{,}5)=2{,}5>0 Das Vorzeichen wechselt von negativ zu positiv. Daher besitzt f den Wendepunkt W(0\mid0). Ein Gegenbeispiel zeigt, warum die Vorzeichenprobe wichtig ist: Für g(x)=x^4 gilt g''(x)=12x^2. Zwar ist g''(0)=0, doch g'' ist links und rechts von 0 positiv. Die Krümmung wechselt nicht; deshalb gibt es dort keinen Wendepunkt. Für f(x)=x^5 ist f'(0)=0. Der Punkt W(0\mid0) ist deshalb zugleich ein Sattelpunkt. Die Gleichung f'''(x_0)=0 allein sagt dagegen nichts darüber aus, ob ein Sattelpunkt vorliegt.
Definition
Sattelpunkt
Ein Sattelpunkt, auch Terrassenpunkt genannt, ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Zusätzlich zum Krümmungswechsel gilt also f'(x_0)=0.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Wendepunkt berechnen
Erkennen
f'' wechselt das Vorzeichen
Kandidaten finden
f''(x)=0 lösen
Einfach prüfen
f'''(x_0)\neq0 bestätigt die Wendestelle
Sonderfall
bei f'''(x_0)=0 das Vorzeichen von f'' vergleichen
Punkt bestimmen
W(x_0\mid f(x_0))
Sattelpunkt
Wendepunkt mit f'(x_0)=0
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Wendepunkt von h(x)=x^3-6x^2+9x+1
- 1h'(x)=3x^2-12x+9, h''(x)=6x-12, h'''(x)=6
- 26x-12=0 \Rightarrow x_0=2
- 3h'''(2)=6\neq0: Wendestelle, von rechts- zu linksgekrümmt
- 4h(2)=8-24+18+1=3
- 5W(2\mid3)
Fehler finden
Wendepunkt von f(x)=x^3-6x^2+4 In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 4Die y-Koordinate kommt aus f, nicht aus f'': f(2)=8-24+4=-12, also W(2\mid-12).
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Zum Berechnen eines Wendepunkts setzt du zuerst gleich null. Ist am Kandidaten , ist die Wendestelle bestätigt. Die y-Koordinate berechnest du mit .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback