Mathematik · Klasse 7–8 · aktualisiert
Ungleichungen lösen: Regeln und Beispiele
Ungleichungen vergleichen Terme mit <, >, ≤ oder ≥. Du lernst, sie umzuformen, wann sich das Zeichen umdreht und wie du Lösungsmengen notierst.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Eine Ungleichung vergleicht zwei Terme mit <, >, \le oder \ge. Du löst sie wie eine Gleichung, aber beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl drehst du das Zeichen um. Beispiel: Aus -5x<15 wird x>-3.
Eine Ungleichung vergleicht zwei Terme mit <, >, \le oder \ge. Du formst sie fast wie eine Gleichung um. Der entscheidende Unterschied: Multiplizierst oder dividierst du mit einer negativen Zahl, musst du das Ungleichheitszeichen umdrehen. Das Ergebnis ist meist eine ganze Menge von Zahlen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Bei einer Gleichung suchst du Werte, für die zwei Terme gleich sind. Eine Ungleichung fragt dagegen, wann ein Term kleiner oder größer als ein anderer ist. Die Lösung ist meist ein ganzer Bereich von Zahlen.
Definition
Ungleichung
Eine Ungleichung verbindet zwei Terme durch eines der Zeichen <, >, \le oder \ge. Eine Zahl gehört zur Lösungsmenge, wenn sie beim Einsetzen eine wahre Aussage erzeugt.
| Zeichen | Bedeutung | Gehört die Grenze 4 dazu? |
|---|---|---|
| x<4 | kleiner als 4 | nein |
| x\le4 | kleiner oder gleich 4 | ja |
| x>4 | größer als 4 | nein |
| x\ge4 | größer oder gleich 4 | ja |
Beispiel: Einsetzen in 2x+1<9
- 1x=3: 2\cdot3+1=7, und 7<9 ist wahr. Also ist 3 eine Lösung.
- 2x=5: 2\cdot5+1=11, aber 11<9 ist falsch. Also ist 5 keine Lösung.
Teste dich
Eine lineare Ungleichung enthält die Variable nur in der ersten Potenz. Du darfst auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren. Du darfst auch beide Seiten mit derselben von null verschiedenen Zahl multiplizieren oder durch sie dividieren. So bleibt die Lösungsmenge erhalten, wenn du bei negativen Faktoren zusätzlich das Zeichen umdrehst. Auf der Zahlengeraden gilt 2<5. Multiplizierst du beide Zahlen mit -1, erhältst du -2 und -5. Nun liegt -2 rechts von -5, also gilt -2>-5. Die Reihenfolge kehrt sich um.
Beispiel: 3x-8<7 lösen
- 13x-8<7
- 23x<15 (plus 8)
- 3x<5 (durch 3)
- 4Test: x=4 ergibt 3\cdot4-8=4, und 4<7 ist wahr
- 5Test: x=6 ergibt 3\cdot6-8=10, aber 10<7 ist falsch
- 6L=\{x\in\mathbb{R}\mid x<5\}
Definition
Inversionsregel
Wenn du beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst, drehst du das Ungleichheitszeichen um: Aus < wird >, aus \le wird \ge und umgekehrt.
Beispiel: 12-4x\ge20 lösen
- 112-4x\ge20
- 2-4x\ge8 (minus 12)
- 3x\le-2 (durch -4, Zeichen umdrehen)
- 4Grenze: 12-4\cdot(-2)=20, und 20\ge20 ist wahr
- 5Test: 12-4\cdot(-3)=24, und 24\ge20 ist wahr
Teste dich
Nach dem Umformen prüfst du drei Dinge: Gehört der Grenzwert dazu? Welche Grundmenge ist vorgegeben? Bleibt überhaupt eine Bedingung für die Variable übrig? Ist die Grundmenge zum Beispiel \mathbb{Z}, zählen nur ganze Lösungen; bei \mathbb{N} nur natürliche Zahlen. Manchmal verschwindet die Variable beim Umformen vollständig. Dann entscheidet die übrig gebliebene Aussage: Ist sie immer wahr, lösen alle Zahlen der Grundmenge die Ungleichung. Ist sie falsch, ist die Lösungsmenge leer.
Beispiel: Sonderfälle: Die Variable fällt weg
- 12x+3<2x+7 wird zu 3<7: immer wahr, also L=\mathbb{R}
- 25x-1>5x+2 wird zu -1>2: ein Widerspruch, also L=\{\,\}
Merke: Bei < und > gehört die Grenze nicht zur Lösung, bei \le und \ge schon. Und es zählen nur Zahlen aus der Grundmenge.
Teste dich
Bei einer quadratischen Ungleichung kommt x^2 vor. Statt nur eine Grenze zu erhalten, können zwei Grenzstellen entstehen. Sie teilen die Zahlengerade in Bereiche, die du mit Testwerten untersuchst.
Beispiel: x^2+3x+5<15 lösen
- 1Alles auf eine Seite: x^2+3x-10<0
- 2Grenzstellen: x^2+3x-10=(x+5)(x-2)=0, also x=-5 oder x=2
- 3Test x=0: (0+5)(0-2)=-10<0, passt
- 4Test x=-6: (-1)\cdot(-8)=8>0, passt nicht
- 5Test x=3: 8\cdot1=8>0, passt nicht
- 6L=\{x\in\mathbb{R}\mid -5<x<2\}
Merke: Grenzgleichung lösen, Zahlengerade in Bereiche teilen, je einen Testwert einsetzen und erst dann die passenden Bereiche auswählen. Bei \le oder \ge gehören erfüllende Grenzstellen dazu.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Ungleichungen
Bedeutung
Zwei Terme werden geordnet verglichen
Umformen
Auf beiden Seiten gleich handeln
Negative Faktoren
Ungleichheitszeichen umdrehen
Lösungsmenge
Grenze und Grundmenge beachten
Sonderfälle
Alle Werte oder keine Lösung
Quadratische Terme
Grenzstellen und Testbereiche prüfen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
5-3x\le2x-10 lösen
- 15-3x\le2x-10
- 2-5x\le-15 (minus 5, minus 2x)
- 3x\ge3 (durch -5, Zeichen umdrehen)
- 4Grenze: 5-3\cdot3=-4 und 2\cdot3-10=-4, und -4\le-4 ist wahr
- 5Test: 5-3\cdot4=-7 und 2\cdot4-10=-2, und -7\le-2 ist wahr
- 6L=\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge3\}
Fehler finden
2-3x>14 lösen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Beim Teilen durch -3 muss das Zeichen umgedreht werden: x<-4. Probe: x=0 ergibt 2>14, das ist falsch, also kann x>-4 nicht stimmen.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei x<4 gehört die Grenze 4 zur Lösung. Teilst du beide Seiten durch eine Zahl, drehst du das Zeichen um. Aus -2x>8 wird dann .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback