Mathematik · Klasse 12 · aktualisiert
Wahrscheinlichkeitsverteilung einfach erklärt
Du lernst, was eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zeigt, wie du sie für eine Zufallsgröße aufstellst und prüfst und was diskret und stetig heißt.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ordnet jedem möglichen Wert einer Zufallsgröße X seine Wahrscheinlichkeit P(X=x) zu, meist in einer Tabelle. Jede Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1, zusammen ergeben sie genau 1. Beim fairen Würfel hat jede Augenzahl die Wahrscheinlichkeit \frac{1}{6}.
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zeigt, welche Werte eine Zufallsgröße annehmen kann und wie wahrscheinlich jeder Wert ist. Bei einer vollständigen diskreten Verteilung ergeben alle Wahrscheinlichkeiten zusammen 1 beziehungsweise 100\%. Auf dieser Seite lernst du, eine Verteilung zu lesen, selbst aufzustellen und zu kontrollieren. Außerdem unterscheidest du diskrete von stetigen Verteilungen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
3 Abschnitte
Bei einem Zufallsexperiment interessieren oft nicht die einzelnen Ergebnisse, sondern Zahlen, die ihnen zugeordnet werden. Eine solche Zahl heißt Zufallsgröße. Wirfst du beispielsweise viermal eine Münze, kann die Zufallsgröße X die Anzahl der Wappen bezeichnen. Dann sind die Werte 0, 1, 2, 3 und 4 möglich. Für eine diskrete Zufallsgröße lässt sich diese Zuordnung übersichtlich in einer Tabelle darstellen. Dabei gelten zwei Bedingungen: Jede Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist 1. p_1+p_2+\dots+p_k=1
Definition
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ordnet jedem möglichen Wert x einer Zufallsgröße X die zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X=x) zu.
| Wert x | x_1 | x_2 | … | x_k |
|---|---|---|---|---|
| P(X=x) | p_1 | p_2 | … | p_k |
Beispiel: Gleichverteilung beim idealen Würfel
- 1X: gewürfelte Augenzahl, Werte 1 bis 6
- 2P(X=x)=\frac{1}{6} für jeden Wert
- 3Probe: 6\cdot\frac{1}{6}=1
- 4Alle Werte sind gleich wahrscheinlich: eine Gleichverteilung.
Teste dich
Gehe in vier Schritten vor: Lege fest, was X zählt. Bestimme alle möglichen Werte, auch Randfälle wie „kein Erfolg“. Berechne für jeden Wert die Wahrscheinlichkeit: entlang eines Pfades multiplizieren, passende Pfade addieren. Prüfe zum Schluss, ob die Summe 1 ergibt. Fehlt nur ein Wert, ergänzt du ihn: P(\text{fehlender Wert})=1-\text{Summe der bekannten Wahrscheinlichkeiten} Ein Beispiel: Ria bekommt drei Welpen. In diesem Modell ist jeder Welpe mit der Wahrscheinlichkeit 0{,}4 ein Rüde und mit 0{,}6 ein Weibchen, unabhängig von den anderen. X zählt die Rüden, also sind die Werte 0, 1, 2 und 3 möglich. Der Wert 0 bedeutet: Alle drei sind Weibchen. Bei X=1 und X=2 gibt es jeweils drei Reihenfolgen, deshalb steht dort der Faktor 3.
Merke: Erst legst du fest, was gezählt oder gemessen wird. Danach bestimmst du die möglichen Werte und ihre Wahrscheinlichkeiten.
Beispiel: Verteilung der Rüden bei drei Welpen
- 1Kein Rüde, ein Pfad: P(X=0)=0{,}6^3=0{,}216
- 2Ein Rüde, drei Pfade: P(X=1)=3\cdot0{,}4\cdot0{,}6^2=0{,}432
- 3Zwei Rüden, drei Pfade: P(X=2)=3\cdot0{,}4^2\cdot0{,}6=0{,}288
- 4Drei Rüden, ein Pfad: P(X=3)=0{,}4^3=0{,}064
- 5Probe: 0{,}216+0{,}432+0{,}288+0{,}064=1
| Anzahl der Rüden x | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| P(X=x) | 0,216 | 0,432 | 0,288 | 0,064 |
Teste dich
Eine diskrete Zufallsgröße besitzt einzelne, abzählbare mögliche Werte. Beispiele sind eine Augenzahl oder die Anzahl der Rüden in einem Wurf. Jedem möglichen Wert kann direkt eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden. Eine stetige Zufallsgröße kann dagegen jeden Wert in einem Bereich annehmen. Ein Beispiel ist eine Körpergröße, die theoretisch immer genauer gemessen werden kann. Bei einer stetigen Verteilung beschreibt die Höhe der Dichtekurve nicht direkt die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Werts. Wahrscheinlichkeiten gehören zu Intervallen und werden durch die Fläche unter der Dichtekurve bestimmt. Im Welpenbeispiel ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens einen Rüden: P(X\leq1)=0{,}216+0{,}432=0{,}648 Weil nur die Anzahlen 0 bis 3 möglich sind, steigt die Verteilungsfunktion schrittweise wie eine Treppe.
| Diskrete Zufallsgröße | Stetige Zufallsgröße |
|---|---|
| einzelne, abzählbare Werte | beliebig viele Werte in einem Bereich |
| Beispiel: Augenzahl | Beispiel: Körpergröße |
| Wahrscheinlichkeit einzelner Werte | Wahrscheinlichkeit von Intervallen |
| Darstellung oft als Tabelle | Darstellung mithilfe einer Dichtekurve |
Definition
Verteilungsfunktion
Die Verteilungsfunktion gibt für einen Grenzwert x an, wie wahrscheinlich ein Ergebnis von höchstens x ist. Sie fasst also alle Wahrscheinlichkeiten bis zu diesem Wert zusammen.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Verteilung
ordnet jedem Wert einer Zufallsgröße seine Wahrscheinlichkeit zu
Zufallsgröße
eine Zahl, die jedem Ergebnis zugeordnet wird
Werte
alle möglichen Werte, auch Randfälle wie 0
Summe
alle Wahrscheinlichkeiten ergeben zusammen 1
Diskret oder stetig
einzelne Werte oder ein ganzer Bereich
Verteilungsfunktion
sammelt die Wahrscheinlichkeiten bis zu einem Wert
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Verteilung der Treffer bei zwei Freiwürfen mit Trefferquote 0,7
- 1X = Anzahl der Treffer, Werte 0, 1, 2
- 2P(X=0)=0{,}3\cdot0{,}3=0{,}09
- 3P(X=1)=2\cdot0{,}7\cdot0{,}3=0{,}42
- 4P(X=2)=0{,}7\cdot0{,}7=0{,}49
- 5Probe: 0{,}09+0{,}42+0{,}49=1
Fehler finden
Anzahl roter Kugeln bei zwei Zügen mit Zurücklegen aus 3 roten und 2 blauen Kugeln In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Für genau eine rote Kugel gibt es zwei Pfade: Rot zuerst oder danach. Richtig ist P(X=1)=2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{5}=\frac{12}{25}; dann ist die Summe 1.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gehört zu einer . Zuerst bestimmst du deren . Die Summe aller zugehörigen Wahrscheinlichkeiten muss ergeben.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback