Mathematik · Klasse 12–13 · aktualisiert
Abstand Punkt–Gerade berechnen: vier Wege
Der Abstand eines Punktes von einer Geraden ist die Länge des Lots. Du lernst Lotfußpunkt, Kreuzproduktformel, Hilfsebene und Abstandsfunktion.
0 von 9 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Der Abstand eines Punktes P von einer Geraden g: \vec x = \vec a + \lambda \vec b ist die Länge der kürzesten Verbindung, die senkrecht auf g steht. Den Lotfußpunkt F bestimmst du mit (\vec f - \vec p) \cdot \vec b = 0, der Abstand ist d(P,g) = |\vec f - \vec p|.
Wie nah kommt ein Flugzeug auf geradem Kurs einem Funkturm? Das ist der Abstand eines Punktes von einer Geraden. Er ist die Länge der kürzesten Verbindung, und die steht senkrecht auf der Geraden. Ihr Endpunkt auf der Geraden heißt Lotfußpunkt. Hier lernst du vier Wege für eine Gerade in Parameterform g: \vec x = \vec a + \lambda \vec b mit \vec b \neq \vec 0.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Von jedem Punkt der Geraden kannst du eine Strecke zum Punkt P ziehen. Die kürzeste davon steht senkrecht auf der Geraden. Senkrecht heißt bei Vektoren: Das Skalarprodukt ist null. Am Lotfußpunkt F gilt deshalb (\vec f - \vec p) \cdot \vec b = 0. Der Abstand ist dann die Länge des Lotvektors: d(P,g) = |\vec f - \vec p|. Ein Abstand ist nie negativ. Liegt P schon auf g, fallen P und F zusammen und der Abstand ist 0.
Definition
Lotfußpunkt
Der Lotfußpunkt F ist der Punkt auf der Geraden, für den der Verbindungsvektor von P nach F senkrecht zum Richtungsvektor \vec b steht. Die Länge dieser Verbindung ist der Abstand d(P,g).
Teste dich
Du setzt einen allgemeinen Punkt der Geraden an, bildest den Verbindungsvektor von P zu diesem Punkt und forderst, dass er senkrecht auf \vec b steht. Daraus entsteht eine Gleichung für den Parameter \lambda. Setzt du ihn in die Gerade ein, erhältst du F. Die umgekehrte Richtung \vec p - \vec f geht genauso, weil sie dieselbe Länge hat und ebenfalls senkrecht auf g steht.
Beispiel: Lotfußpunkt von P(1 \mid -3 \mid -3) auf g: \vec x = \begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}
- 1Allgemeiner Geradenpunkt: \vec f = \begin{pmatrix}2 - \lambda\\1 + 3\lambda\\-3 + \lambda\end{pmatrix}
- 2Verbindungsvektor: \vec f - \vec p = \begin{pmatrix}1 - \lambda\\4 + 3\lambda\\\lambda\end{pmatrix}
- 3Senkrecht zu \vec b: -(1 - \lambda) + 3(4 + 3\lambda) + \lambda = 0
- 4Ausmultiplizieren: 11 + 11\lambda = 0, also \lambda = -1
- 5Einsetzen in die Gerade: F(3 \mid -2 \mid -4)
Merke: Erst bestimmst du mit der Orthogonalitätsbedingung den Parameter, dann den Lotfußpunkt und erst zum Schluss die Länge des Lots.
Teste dich
Hast du den Lotfußpunkt, bildest du den Verbindungsvektor und berechnest seine Länge mit dem Satz des Pythagoras im Raum. LE steht für Längeneinheiten. Typische Fehler sind: den Parameter nicht in die Gerade einsetzen, nur den Lotfußpunkt statt des Abstands angeben, beim Betrag das Quadrieren oder die Wurzel vergessen und einen Vektor statt einer Zahl als Abstand angeben.
Beispiel: Abstand von P(1 \mid -3 \mid -3) zu g mit F(3 \mid -2 \mid -4)
- 1\overrightarrow{PF} = \begin{pmatrix}3 - 1\\-2 - (-3)\\-4 - (-3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}
- 2d(P,g) = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{6} \approx 2{,}45 LE
- 3Plausibel: Der Abstand zum Aufpunkt A(2 \mid 1 \mid -3) ist \sqrt{17} \approx 4{,}12 LE, also größer als \sqrt{6}.
Merke: Der Abstand ist die Länge des Lotvektors: eine Zahl, kein Vektor, und nie negativ.
Teste dich
Im Raum geht es ohne Lotfußpunkt mit dem Kreuzprodukt: d(P,g) = \frac{|(\vec p - \vec a) \times \vec b|}{|\vec b|}. Der Betrag des Kreuzprodukts ist die Fläche eines Parallelogramms. Geteilt durch die Grundseite |\vec b| ergibt sich seine Höhe, also der Abstand. Bei der Hilfsebene legst du durch P eine Ebene mit \vec b als Normalenvektor, E: (\vec x - \vec p) \cdot \vec b = 0. Ihr Schnittpunkt mit g ist der Lotfußpunkt. Bei der Abstandsfunktion schreibst du das Abstandsquadrat d^2(\lambda) als Funktion von \lambda und suchst ihr Minimum. Das Quadrat darfst du nehmen, weil es beim selben Parameter minimal wird. Am Ende ziehst du die Wurzel.
Beispiel: Dasselbe Beispiel mit Kreuzprodukt und Abstandsfunktion
- 1\vec p - \vec a = \begin{pmatrix}-1\\-4\\0\end{pmatrix} und \begin{pmatrix}-1\\-4\\0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\1\\-7\end{pmatrix}
- 2d(P,g) = \frac{\sqrt{16 + 1 + 49}}{\sqrt{1 + 9 + 1}} = \frac{\sqrt{66}}{\sqrt{11}} = \sqrt{6} LE
- 3Abstandsfunktion: d^2(\lambda) = 11\lambda^2 + 22\lambda + 17 = 11(\lambda + 1)^2 + 6
- 4Kleinster Wert 6 bei \lambda = -1, also wieder d(P,g) = \sqrt{6} LE
| Verfahren | geeignet, wenn … |
|---|---|
| Lotfußpunktverfahren | du Lotfußpunkt und Abstand brauchst |
| Kreuzproduktformel | nur der Abstand im Raum gefragt ist |
| Hilfsebene | du Schnittrechnungen Gerade–Ebene nutzen möchtest |
| Abstandsfunktion | du mit quadratischen Funktionen oder Ableitungen arbeiten sollst |
Teste dich
Alles auf einen Blick
Abstand Punkt–Gerade
Idee
die kürzeste Verbindung steht senkrecht auf der Geraden
Lotfußpunkt
Orthogonalität liefert den Parameter
Länge
Betrag des Lotvektors \overrightarrow{PF}
Kreuzprodukt
Parallelogrammfläche geteilt durch Grundseite
Hilfsebene
ihr Schnittpunkt mit g ist der Lotfußpunkt
Abstandsfunktion
Minimum der quadrierten Entfernung
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Abstand von P(0 \mid 1 \mid 5) zu g: \vec x = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}
- 1Allgemeiner Geradenpunkt: \vec f = \begin{pmatrix}1 + \lambda\\2\lambda\\1 + 2\lambda\end{pmatrix}
- 2Verbindungsvektor: \vec f - \vec p = \begin{pmatrix}1 + \lambda\\2\lambda - 1\\2\lambda - 4\end{pmatrix}
- 3Orthogonalität: (1 + \lambda) + 2(2\lambda - 1) + 2(2\lambda - 4) = 9\lambda - 9 = 0, also \lambda = 1
- 4Lotfußpunkt: F(2 \mid 2 \mid 3)
- 5\overrightarrow{PF} = \begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}, also d(P,g) = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3 LE
Fehler finden
Abstand von P(4 \mid -1 \mid -2) zu g: \vec x = \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Zwei Minuszeichen hintereinander ergeben plus: 1 - (-2) = 1 + 2 = 3. Also ist \overrightarrow{PF} = \begin{pmatrix}-3\\2\\3\end{pmatrix} und d(P,g) = \sqrt{9 + 4 + 9} = \sqrt{22} \approx 4{,}69 LE.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Am Lotfußpunkt ist das Skalarprodukt von \overrightarrow{PF} und \vec b gleich . Der Abstand ist die des Lotvektors. In der Kreuzproduktformel teilst du durch die Länge des .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback