Mathematik · Klasse 12–13 · aktualisiert
Abstand Punkt–Ebene berechnen: Formel und Lotfuß
Der Abstand eines Punktes von einer Ebene ist die kürzeste, senkrechte Verbindung. Du lernst die Abstandsformel und das Lotfußpunktverfahren.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Der Abstand eines Punktes P von einer Ebene E ist die Länge der kürzesten Verbindung, und die steht senkrecht auf E. Für E: ax + by + cz = k und P(p_1 \mid p_2 \mid p_3) gilt d(P,E) = \frac{|ap_1 + bp_2 + cp_3 - k|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.
Wie weit ist ein Punkt von einer schrägen Fläche im Raum entfernt? Das ist der Abstand eines Punktes von einer Ebene. Er ist die Länge der kürzesten Verbindung, und die steht immer senkrecht auf der Ebene, also parallel zu ihrem Normalenvektor. Hier lernst du die direkte Abstandsformel, das Lotfußpunktverfahren und wie du Punkte mit einem vorgegebenen Abstand findest.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Verbinde den Punkt P mit allen Punkten der Ebene E. Die kürzeste dieser Strecken trifft die Ebene im rechten Winkel. Ihre Länge ist der Abstand d(P,E). Der Normalenvektor \vec n steht senkrecht auf der Ebene, deshalb zeigt er genau in diese Lotrichtung. Liegt P schon in der Ebene, fallen P und der Lotfußpunkt zusammen und der Abstand ist 0.
Definition
Lotfußpunkt
Der Lotfußpunkt F ist der Punkt der Ebene, in dem die senkrechte Verbindung von P die Ebene trifft. Es gilt d(P,E) = |\overrightarrow{PF}|.
Merke: Ein Abstand ist eine Länge und deshalb nie negativ. Er ist genau dann 0, wenn der Punkt in der Ebene liegt.
Teste dich
Ist die Ebene in Koordinatenform gegeben, setzt du die Koordinaten von P in den Ausdruck ax + by + cz - k ein, nimmst den Betrag und teilst durch die Länge des Normalenvektors \vec n = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}, der nicht der Nullvektor sein darf. Der Betrag ist nötig, weil der eingesetzte Ausdruck je nach Seite der Ebene positiv oder negativ ist. Die Division durch |\vec n| ist nötig, weil ein Vielfaches der Ebenengleichung dieselbe Ebene beschreibt, aber einen längeren Normalenvektor hat. Eine Ebene in Parameterform wandelst du zuerst in Koordinaten- oder Normalenform um.
Definition
Abstandsformel
Für E: ax + by + cz = k und P(p_1 \mid p_2 \mid p_3) gilt d(P,E) = \frac{|ap_1 + bp_2 + cp_3 - k|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}. In Normalenform E: (\vec x - \vec a) \cdot \vec n = 0 lautet sie d(P,E) = \frac{|(\vec p - \vec a) \cdot \vec n|}{|\vec n|}.
Beispiel: Abstand von P(8 \mid -5 \mid 2) zu E: 4x + 8y - 19z = 31
- 1Zähler: |4 \cdot 8 + 8 \cdot (-5) - 19 \cdot 2 - 31| = |{-77}| = 77
- 2Länge des Normalenvektors: |\vec n| = \sqrt{4^2 + 8^2 + (-19)^2} = \sqrt{441} = 21
- 3d(P,E) = \frac{77}{21} = \frac{11}{3} \approx 3{,}67 LE
- 4Der Punkt hat von der Ebene den Abstand \frac{11}{3} Längeneinheiten.
Merke: Lass den Betrag nicht weg. Quadriere im Nenner alle drei Komponenten, auch negative: (-19)^2 = 361. Teile durch |\vec n|, nicht durch a + b + c.
Teste dich
Die Formel liefert schnell den Abstand, aber nicht den nächstgelegenen Punkt der Ebene. Den bekommst du mit dem Lotfußpunktverfahren: Du legst durch P eine Gerade in Richtung des Normalenvektors, die Lotgerade, und schneidest sie mit der Ebene. Der Schnittpunkt ist der Lotfußpunkt F, die Länge von \overrightarrow{PF} ist der Abstand. Beide Verfahren messen dieselbe Strecke und müssen dasselbe Ergebnis liefern.
Beispiel: Lotfußpunkt von P(2 \mid 1 \mid 3) auf E: 2x - y + z = 8
- 1Normalenvektor: \vec n = \begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}
- 2Lotgerade: l: \vec x = \begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}
- 3In E einsetzen: 2(2 + 2r) - (1 - r) + (3 + r) = 8, also 6 + 6r = 8 und r = \frac{1}{3}
- 4Lotfußpunkt: F\left(\frac{8}{3} \middle| \frac{2}{3} \middle| \frac{10}{3}\right)
- 5\overrightarrow{PF} = \begin{pmatrix}\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\end{pmatrix}, also d(P,E) = \sqrt{\frac{6}{9}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \approx 0{,}82 LE
Merke: Brauchst du nur den Abstand, ist die Formel meist kürzer. Brauchst du auch den nächstgelegenen Punkt der Ebene, bestimmst du den Lotfußpunkt.
Teste dich
Manchmal ist der Abstand gegeben und Punkte sind gesucht, zum Beispiel alle Punkte einer Geraden mit einem bestimmten Abstand zu einer Ebene. Dann setzt du einen allgemeinen Punkt der Geraden in die Abstandsformel ein. Der Betrag führt zu zwei Fällen, weil der Ausdruck darin positiv oder negativ sein kann: Aus |u| = 7 folgt u = 7 oder u = -7. Quadrierst du stattdessen die Abstandsgleichung, können Scheinlösungen entstehen. Setze deshalb alle Ergebnisse in die ursprüngliche Gleichung mit Betrag und Wurzel ein.
Beispiel: Punkte auf g mit Abstand \frac{\sqrt{14}}{2} von E: x + 2y + 3z = 9
- 1g: \vec x = \begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}, also hat jeder Punkt die Form P(r \mid 2r \mid 2).
- 2Einsetzen: \frac{|r + 2 \cdot 2r + 3 \cdot 2 - 9|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{|5r - 3|}{\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{14}}{2}
- 3Mit \sqrt{14} malnehmen: |5r - 3| = \frac{14}{2} = 7
- 4Fall 1: 5r - 3 = 7, also r = 2 und P_1(2 \mid 4 \mid 2)
- 5Fall 2: 5r - 3 = -7, also r = -\frac{4}{5} und P_2\left(-\frac{4}{5} \middle| {-\frac{8}{5}} \middle| 2\right)
Teste dich
Alles auf einen Blick
Abstand Punkt–Ebene
Kürzeste Verbindung
senkrecht zur Ebene, parallel zu \vec n
Abstandsformel
Punkt einsetzen, Betrag bilden, durch |\vec n| teilen
Abstand null
der Punkt liegt in der Ebene
Lotfußpunkt
Lotgerade aufstellen und mit der Ebene schneiden
Vorgegebener Abstand
zwei Betragsfälle lösen und prüfen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Abstand von P(5 \mid 3 \mid -1) zur Ebene E: 2x + y - 2z = 4
- 1Koeffizienten: a = 2, b = 1, c = -2, k = 4
- 2Einsetzen: 2 \cdot 5 + 1 \cdot 3 - 2 \cdot (-1) - 4 = 11
- 3Normalenlänge: |\vec n| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3
- 4Abstand: d(P,E) = \frac{|11|}{3} = \frac{11}{3} \approx 3{,}67 LE
Fehler finden
Abstand von P(1 \mid 2 \mid 0) zu E: 2x - 3y + 6z = 10 In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Das Quadrat einer negativen Zahl ist positiv: (-3)^2 = 9. Richtig ist |\vec n| = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7 und damit d(P,E) = \frac{14}{7} = 2 LE.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Für E: x + 2y + 2z = 9 und P(1 \mid 2 \mid 2) ergibt der eingesetzte Ausdruck 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 - 9 den Wert . Daher liegt P und der Abstand beträgt LE.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback