Mathematik · Klasse 12 · aktualisiert
Vektoren addieren und subtrahieren – einfach erklärt
Vektoren verrechnest du Zeile für Zeile. Du lernst, wann das geht, wie Addition und Subtraktion funktionieren und was sie geometrisch bedeuten.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Vektoren addierst und subtrahierst du komponentenweise, also Zeile für Zeile: \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}. Das geht nur bei gleich vielen Komponenten. Subtrahieren heißt, den Gegenvektor zu addieren.
Vektoren addierst und subtrahierst du komponentenweise: Du verrechnest die erste Komponente mit der ersten, die zweite mit der zweiten und – im Raum – die dritte mit der dritten. Das funktioniert nur bei Vektoren mit gleich vielen Komponenten.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Ein zweidimensionaler Vektor besitzt zwei Komponenten, ein dreidimensionaler Vektor drei. Addieren oder subtrahieren darfst du nur Vektoren mit derselben Dimension, also mit gleich vielen Komponenten. Im Schulunterricht werden meist Spaltenvektoren verwendet. Dabei stehen die Komponenten untereinander. Zwei Spaltenvektoren derselben Dimension kannst du komponentenweise verrechnen.
Definition
Dimension
Die Dimension eines Vektors ist die Anzahl seiner Komponenten. Der Vektor \begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix} ist zweidimensional, der Vektor \begin{pmatrix}2\\-3\\4\end{pmatrix} dreidimensional.
Beispiel: Passen die Vektoren zusammen?
- 1\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix} und \begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}: beide zweidimensional, verrechenbar
- 2\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix} und \begin{pmatrix}5\\1\\4\end{pmatrix}: zwei und drei Komponenten, nicht verrechenbar
Teste dich
Bei einer Addition verbindest du die zusammengehörenden Komponenten mit einem Pluszeichen: \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3\end{pmatrix} Gehe in drei Schritten vor: Schreibe die Vektoren so nebeneinander, dass entsprechende Komponenten auf gleicher Höhe stehen. Addiere jede Komponentenreihe einzeln. Ordne die Ergebnisse wieder als Vektor an.
Beispiel: \vec v=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} plus \vec u=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}
- 1\vec v+\vec u=\begin{pmatrix}3+(-1)\\1+2\end{pmatrix}
- 2Erste Zeile: 3+(-1)=2
- 3Zweite Zeile: 1+2=3
- 4\vec v+\vec u=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}
Merke: Rechne immer Zeile mit Zeile. Bei negativen Komponenten helfen Klammern, das Vorzeichen richtig zu lesen.
Teste dich
Auch bei der Subtraktion rechnest du komponentenweise: \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1-b_1\\a_2-b_2\\a_3-b_3\end{pmatrix} Besonders wichtig ist ein Minuszeichen vor einer negativen Komponente. Aus „minus minus“ wird dabei plus. Damit kannst du jede Subtraktion als Addition schreiben: \vec v-\vec u=\vec v+(-\vec u)
Definition
Gegenvektor
Der Gegenvektor -\vec u zeigt genau entgegengesetzt zu \vec u. Du erhältst ihn, indem du das Vorzeichen jeder Komponente wechselst.
Beispiel: \vec v-\vec u für dieselben Vektoren
- 1Gegenvektor: -\vec u=\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}
- 2\vec v-\vec u=\begin{pmatrix}3-(-1)\\1-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}
- 3Probe: \vec v+(-\vec u)=\begin{pmatrix}3+1\\1+(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}
Teste dich
Ein Vektor kann einen Weg beschreiben. Die erste Komponente gibt die Bewegung nach rechts oder links an, die zweite die Bewegung nach oben oder unten. Vektorpfeile sind nicht an einen bestimmten Startpunkt gebunden. Du darfst sie parallel verschieben, solange Richtung und Länge gleich bleiben. Addition als Gesamtweg: Für eine grafische Addition setzt du die Pfeile Fuß an Spitze: Zeichne den ersten Vektor von einem beliebigen Startpunkt aus. Verschiebe den zweiten Vektor parallel, bis sein Fuß an der Spitze des ersten liegt. Zeichne den Summenvektor vom ursprünglichen Startpunkt zur letzten Pfeilspitze. Beim Beispiel \vec v=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} und \vec u=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix} gehst du zuerst drei Einheiten nach rechts und eine nach oben. Danach gehst du eine Einheit nach links und zwei nach oben. Der direkte Gesamtweg ist \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}. Subtraktion als Rückwärtsweg: Bei \vec v-\vec u gehst du zuerst den Weg \vec v. Anschließend gehst du \vec u rückwärts, also in Richtung des Gegenvektors -\vec u.
Merke: Addieren bedeutet: Wege nacheinander gehen. Subtrahieren bedeutet: den zweiten Weg rückwärts gehen.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Vektoren addieren und subtrahieren
Voraussetzung
gleiche Dimension
Addition
Komponenten addieren
Subtraktion
Komponenten subtrahieren
Gegenvektor
alle Vorzeichen wechseln
Geometrie
Pfeile Fuß an Spitze
Ergebnis
direkter Gesamtweg
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
\vec a-\vec b+\vec c berechnen
- 1\vec a=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}, \vec b=\begin{pmatrix}-4\\5\\1\end{pmatrix}, \vec c=\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}
- 2Alle drei Vektoren sind dreidimensional, du darfst sie verrechnen.
- 3\vec a-\vec b=\begin{pmatrix}2-(-4)\\-1-5\\3-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-6\\2\end{pmatrix}
- 4\vec a-\vec b+\vec c=\begin{pmatrix}6+1\\-6+0\\2+(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\-6\\0\end{pmatrix}
Fehler finden
\begin{pmatrix}5\\-2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3\\4\\-6\end{pmatrix} berechnen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 4Minus eine negative Zahl ergibt plus: 1-(-6)=1+6=7. Das Ergebnis ist \begin{pmatrix}8\\-6\\7\end{pmatrix}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Addieren darfst du nur Vektoren mit Komponenten. Den Gegenvektor erhältst du, indem du alle wechselst. Grafisch setzt du die Pfeile aneinander.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback