Varianz berechnen und richtig deuten

Ein Mittelwert beschreibt die Mitte, aber nicht die Verteilung der Werte. Die Datenreihen 4, 5, 6 und 0, 5, 10 haben beide den Mittelwert 5. In der zweiten Reihe liegen die äußeren Werte jedoch viel weiter von 5 entfernt. Ihre Varianz ist deshalb größer. Warum werden die Abweichungen quadriert? Ohne Quadrieren würden sich negative und positive Abweichungen oft gegenseitig aufheben. Durch das Quadrat werden alle Beiträge nichtnegativ; außerdem zählen große Abstände besonders stark.

Betrachte Mias Wegzeiten zur Schule: 22, 18, 25, 19, 16 Minuten. Hier behandeln wir genau diese fünf Tage als vollständige Datenreihe und teilen daher durch n=5. Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz, \sigma=\sqrt{\operatorname{Var}}. Sie liegt wieder in Minuten und lässt sich deshalb leichter im Sachzusammenhang deuten: Mias Wegzeiten weichen typischerweise um gut 3 Minuten vom Mittelwert ab.

Bei einer diskreten Zufallsgröße sind die möglichen Werte nicht unbedingt gleich wahrscheinlich. Deshalb wird jede quadrierte Abweichung mit ihrer Wahrscheinlichkeit gewichtet. Ein Glücksrad zahlt 0, 2 oder 6 Euro aus, mit den Wahrscheinlichkeiten in der Tabelle. Zuerst berechnest du den Erwartungswert: \mu=0\cdot0{,}5+2\cdot0{,}25+6\cdot0{,}25=2

Vor dem Rechnen musst du klären, welche Daten vorliegen. Die Formeln sehen ähnlich aus, beantworten aber unterschiedliche Fragen. Die Tabelle zeigt, welche Rechnung zu welcher Situation passt. Für eine Stichprobe lautet die korrigierte Formel: s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 Die Angabe „Stichprobe“ allein reicht nicht immer zur Wahl des Divisors. Entscheidend ist die Absicht: Beschreibst du nur die vorliegenden Werte, kann die Division durch n gemeint sein. Schätzt du damit die Varianz einer größeren Grundgesamtheit, wird üblicherweise durch n-1 geteilt. In Aufgaben sollte die gewünschte Variante genannt oder aus dem Kontext eindeutig sein. Varianz oder Standardabweichung? Varianz und Standardabweichung enthalten dieselbe Streuungsinformation, denn \sigma=\sqrt{\operatorname{Var}} und \operatorname{Var}=\sigma^2. Ihre Einheiten unterscheiden sich: Bei Wegzeiten in Minuten hat die Varianz die Einheit \text{Minuten}^2. Die Standardabweichung hat die Einheit Minuten und ist daher anschaulicher. Aus \sigma=2\,\text{Minuten} folgt \operatorname{Var}=4\,\text{Minuten}^2. Typische Fehler sind ein falscher Bezugswert, das Vergessen der Quadrate, das Vermischen von n und n-1 sowie eine Varianz in der ursprünglichen statt in der quadrierten Einheit.