Verteilungsfunktion: Wahrscheinlichkeiten berechnen

Stell dir vor, X ist die Augenzahl eines fairen Würfels. Dann bedeutet F(4)=P(X\le 4). Gesucht sind die Ergebnisse 1, 2, 3 und 4. Weil jede Augenzahl die Wahrscheinlichkeit \frac16 hat, gilt: F(4)=\frac16+\frac16+\frac16+\frac16=\frac46=\frac23. Die Schreibweise hilft beim Übersetzen: höchstens x, maximal x oder nicht mehr als x bedeutet X\le x und damit F(x). Mehr als x bedeutet X>x und damit 1-F(x). Genau x bedeutet X=x; das ist im diskreten Fall nur die Wahrscheinlichkeit an einer einzelnen Stelle.

Eine diskrete Zufallsvariable nimmt einzelne, voneinander getrennte Werte an. Ihre Verteilungsfunktion entsteht, indem du die Einzelwahrscheinlichkeiten von links nach rechts addierst. Betrachte ein Losspiel. Der Gewinn X kann die Werte -2\,€, 1\,€ und 2\,€ annehmen. Die Tabelle zeigt ihre Wahrscheinlichkeiten. Damit lautet die Verteilungsfunktion: F(x)=\begin{cases}0,&x\lt-2,\\\frac16,&-2\le x\lt1,\\\frac56,&1\le x\lt2,\\1,&x\ge2.\end{cases} Der Graph ist eine Treppenfunktion: Zwischen zwei möglichen Werten bleibt F konstant, weil dort keine neue Wahrscheinlichkeit hinzukommt. An einem möglichen Wert springt F nach oben. Die Sprunghöhe bei x ist genau P(X=x). So kannst du die Einzelwahrscheinlichkeit aus dem Sprung zurückgewinnen. Schreibe F(x-) für den Wert, dem sich die Funktion von links nähert. Dann gilt: P(X=x)=F(x)-F(x-).

Mit einer Verteilungsfunktion kannst du Wahrscheinlichkeiten für Bereiche berechnen. Drei Regeln sind besonders wichtig: P(X\le b)=F(b) P(X>b)=1-F(b) P(a\lt X\le b)=F(b)-F(a) Die letzte Regel funktioniert, weil F(b) alles bis b enthält. Wenn du F(a) abziehst, entfernst du alles bis einschließlich a. Übrig bleibt der Bereich a\lt X\le b. Bei einer diskreten Zufallsvariablen musst du auf offene und geschlossene Grenzen achten. Soll die untere Grenze dazugehören, brauchst du den linksseitigen Wert: P(a\le X\le b)=F(b)-F(a-). Für den Würfel gilt zum Beispiel P(2\le X\le5)=\frac46, denn 2, 3, 4 und 5 gehören dazu. Würdest du F(2) abziehen, würdest du die 2 fälschlich entfernen. Übersetze deshalb zuerst den Text in ein Zeichen wie X\le b und wähle dann die Regel.

Eine stetige Zufallsvariable kann Werte in ganzen Intervallen annehmen. Wenn sie eine Dichtefunktion f besitzt, ist die Verteilungsfunktion die angesammelte Fläche unter der Dichte: F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt. Die Höhe f(x) ist dabei keine Wahrscheinlichkeit an der einzelnen Stelle. Für jeden einzelnen Wert gilt im stetigen Fall: P(X=x)=0. Deshalb machen offene oder geschlossene Intervallgrenzen bei stetigen Verteilungen keinen Unterschied. Zum Beispiel gilt: P(a\lt X\lt b)=P(a\le X\le b)=F(b)-F(a). Jede Verteilungsfunktion, ob diskret oder stetig, erfüllt vier Bedingungen. Sie fällt nie, denn mit wachsendem x kommen nur Ergebnisse hinzu. Links nähert sie sich 0, rechts nähert sie sich 1. Sie ist rechtsstetig: An einer Sprungstelle gehört der Punkt wegen X\le x schon zum oberen Wert. Waagerechte Abschnitte sind erlaubt, dort liegt keine Wahrscheinlichkeit. Ein fallender Abschnitt oder ein Wert unter 0 oder über 1 ist dagegen unmöglich.